DÉVELOPPEMENT DES B EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Puis, par les formules (19) du n^ 1335,

Enfin les formules (17) du n*' 1334 donnent

1343. Il nous reste à déterminer le facteur constant ao, commun aux. quatre fonctions 0.

Jj'équation (29) du n^ 1336 nous donne

Désignons par P(^/) la valeur commune de ces deux expressions.

En comparant les valeurs [1331, (8)] de ©(u) et de 0|(m)

avec celles que nous venons de trouver, on aura les deux égalités

TT(i — 2 7*''"^*cosajc-f- y*"-»-*)

sinxTT(i — 2^*"cos2Jc + y*")

= P(î) y(— i)'"î'"**'"»in(2/n + i)x.

Les deux membres de chacune de ces deux égalités étant identiques, quelles que soient les valeurs de q et de x, elles subsiste-

-ia8 LIVBB VI. ^ GHAP. IV, $ V.

ront lorsqu^on y remplacera q par ^^. En les multipliant membre à membre après cette substitution, et remarquant qu'alors le produit des premiers membres reproduit le premier membre de la seconde équation (i), il viendra

= P(y)y(— i)'"^'"'-^"'sin(2/iH-i).r.

En égalant dans les deux membres les coeflEicients de sinx, on a

Si Ton fait x = - dans la seconde égalité (i), elle donne

Donc

et, par suile,

La fonction P(<7) TT(i — ff^") ne varie donc pas lorsqu'on y rem-

place q par q^, et par suite aussi par y*, y®, . . ., et finalement

par q*= o, puisque q est <] i . Donc on aura dans ce cas

quantité égale à TuDité, en vertu de la première équation (t ),

On aura, par conséquent.

ên(-^*''-)'=n7=-T«^

On a d'ailleurs [1336, (3o)], d'après les notations de ce numéro,

1344. Si nous posons maintenant, d'après les notations de Jacobi (*),

S- (jî) =r I-h 2 V(— l)'"7"*'cO.S2mX,

^i(.r) = 22(— i)'"<z^'"'^*^ sin(2/» -f- i)x,

S-j(x) = 2\*7^ *'' cos(2m-|- î)jr,

S-j (jr) := I -h 2 y 7^' ces 2 m .y, \ 1

les produits 0 auront pour expressions

En remplaçant dans ces formules les produits © par leurs valeurs (8) du n» 1330, et les constantes yj, A, h! par leurs valeurs du n^ 1336, on aura, pour les expressions des fonctions S- sous

(*) Dans les Fundamenta, Jacobi représente les fonctions ^{x\ d',(<r) par 0(«) H(b), d'où l'on déduit

'^3o LIVRE VI. — CHAP. IV, § V.

forme de produits infînis,

1 • 5^1 (,r) = ^7^ JJ(i --7*").sinj:. J2[i-— '2 9"»cos2ar -|- ^*«],

^3(jr)r^ JJ(i- ^'«).jQ(i-f-'i^»«+«cos2x-H7*«-^»).

D'après cela, les fonctions elliptiques s'exprimeront au moyen des fonctions B- par les formules suivantes :

dn«= Vr ^^^:^

I BJ.r]

tn M -ir

v^r ^il-t-j

< snctt —

cnc

dnc,/--= ^/x":?±:ll,

tncK

Lorsque la constante p et la constante q qui en dépend seront remplacées par des quantités représentées par d'autres lettres, par exemple par p' ou </', on mettra ces lettres en évidence, et Ton écrira

S-[^,p') ouS-(j:,7'), S-|(x,|d') ou 3-i(.r,9'), etc. Les fonctions 5-, S>2, S-s sont paires; la fonction B^^ est impaire.

134o. En substituant les valeurs (3) dans les formules obtenues aux n"* 1335, 1336, 1337, et posant, pour abréger,