IX
e ^ zzr.q^€r
PONCTIONS d.
on aura les relations
^, (x) = ^t (^-x\ = iÇ * (x — r» = /Ç S-, ^x 4- ^ - ipV S-,(.r) = 3-, (^ — x\= Ç3-,(x — />) = 53- fx + ^ — ipj.
Pour M = o ou K, d'où j: = o ou -» on a les formules suivantes
Mo)=^3(^)=v/^'=.4-a2:(-.N-.
Des formules des n^* 1333 et suivants on tire celles-ci :
ir
Pour i« = Ji^j-I- 2/wK + 2/iiK', .r m j:^. -h 2 m —
intp,
(lo)
on a
(— )»^Vt = {-')
„+,^iW
^-«t^-tn/x
TT
Pour tt = iio-|-2iwKH-(2/i + i)/K', x=:ro-l-2m — h(2/H-i)/p,
on a
235t LIVRE VI. — CHAP. IV, § V.
Si l'on pose, comme au n° 1337,
!ï2) '^ et de plus
U= r*^^= e~= e»"?= e^= y'^= 7"^, la relation établie au n" 1338 donnera les formules
^,[i\r)=yVB- (.r',p').
En changeant dans ces formules y en ^' et 7 en -» et développant le résultat de cette substitution au moyen des formules (2), on en tirera de nouvelles expressions des fonctions 5-, qui sont avantageuses pour le calcul numérique, lorsque A" et ç sont trèsvoisins de l'unité, et par suite q' très petit :
*i(')= j-*i;(-')"7'^"'''"^'sh(2/.+i)^.
On en tire, pour remplacer les formules (6),
(.5) ]5,(o) = 7rn-a2(-")»î'»'|.
1347. Si ron remplace, dans les fonctions 3-, la variable réelle X par une variable complexe x -j-iy, en s'appuyanl sur les formules
cos(a -+- /pi 4- cos(a — /S^
= cosaChp, etc.,
et posant
g [x.ix] = I -h ^y]("- ^y* q''* cosinx Cho.nx,
giij^yij-] = aV (— i)«7^ *^ sin(2/H-i)jrCh(2/ï-f-i)r,
^j(a7,tj)=: 2^
2 > 7^'"*"*>' cos(2/i H-i)j:Ch(2/f -+- ijjj
// (.r, ij) = — 2 Vf— i)''7'»"sin2/iarSh2/i7,
//i(x,i»= ^Vf— ij't^l""*"»' cos(2/n-i)jrSh(2/i-f-i)r»
^,(j-,/r)z=: ^2^ sin(2/i-hi).rSh(2/i4-i)j,
/P3(x,/j)= 2 y^ç"* sin2/ix Sh 2/ij,
on aura, pour l'indice fx = o, i, 2, 3,
(17) â^[x±ty]=:g^[x,ix)±i/ty,(x, iy).
Dans le cas où le module serait très-voisin de Tunité, on transformerait B'^[X'\-ij) en ^^\i{y — t-^)]- En ayant alors égard aux formules (i3}, on ramènerait les développements à ceux des fonctions 5"v(j^ — iafj q'). Par exemple, en posant, d'après les formules (13),
.j,34 LIVBB VI. — OHAP. IV, § V.
on aurait iy-i^
^yye ^ [g,[y, ix\ q') — ifi.jy, /.r', q')\
et de même pour les autres.
1348. Des expressions (4) du n» 1344 il est facile de déduire les développements en séries des logarithmes des fonctions ^, On a d'abord
En sommant les deux membres de Tégalité par rapport à l'indice «, depuis n = i jusqu'à /i = oo , il vient
2éJ X-q"
et par suite
L'expression i — ar/" cosaa: -f-y*" se décomposant en on a, pour les logarithmes des deux facteurs,
oc
d'où
En sommant par rapport à /i, selon que n sera de la forme am — i ou de la forme a/w, on aura
log JJ (i — a^" cos2.r H- 7"*) = — ^2# " 1 — q^- cosavj:,
r cosav.
VI — 7
Si Ton avait eu à sommer les logarithmes des expressions
I -t- 2 7* cos 2 a: H- <7*'», on aurait eu le même résultat, au changement près de - en tlil.
D'après cela, on aura, pour les développements des logarithmes des quatre fonctions S-, en posant, pour abréger,
(,8) Q^-Vl "i"" ^-'lyi,^
les
expressions suivantes.
log3- (.r) z^ Q - ^2 - .^-f^ COS2«X,
H'^i (•'•) = Q -♦- log (27* sin .rj — 2 y ? — - cos2«.r,
logi^,(x)r=Q-|-logU<7*COSJ7/— 2 > ^ ^ ^ —
^•^ n I — fl
f^tn
COS 2 /t or.
.og..W = Q-a2^-^
(—il'* 7"
cos2//.r,
ou, sous une autre forme.
, * , V ^:^ 7" -f- cos inx
^^ /iSh2/ip
, û. / s I / i • \ v' 7'*(i — cos2/?.r)
I û. / ^ , / X \ v^ 7"[n-(— l)'*cos2«.r]
^^ /} Sh 2 /zo
logJ^,(.r)=z:-22
7'*-f-f — lV'coS2/IJr /Z ^h2/lp
Pour les valeurs complexes de Targument, la formule (17) du
numéro précédent donne la relation
(21) -- loc y ; = arctang ~H-^ •
1349. Les dérivées logarithmiques des fonctions 3- jouent un rôle important dans l'Analyse. Jacobi a désigné, à un facteur constant près, celle de ^{x) par le symbole
Z(tf) = Daloge(«) = )3D;^log5(j:).
Cette fonction jouit des propriétés exprimées par les égalités
Z(o) = Z(K) = o, Z(-a) = -Z(«), Z(«4-2K) = Z{tt).
On trouve immédiatement, par la différentiation des formules (a),
ri-.»
D,log&,(x) = -T^ V(2« + i)î^ '^ sin(2»-j-i)j,
ou, par la différentiation des formules (20),
sin2/i.r
D,iog*{x)=22;sï,— '
sin2/?x
Dx l0g&, (x) = COtx + 22, 7» gj^^^
D, log&, (x) = - tangx + 2 2, (- •)" î" shi — »
Sm 2 /IJT
sino.nx
Dxlog5,(x)=22;(-i)''shi;;^
On voit que la troisième et la quatrième des formules ( a3 ) se déduisent de la seconde et de la première par le changement de x
en xH — •
FONCTIONS a*, a37
En prenant pour les B- leurs valeurs déterminées par les formules (3) du n° 1344, combinées avec les formules (35 ) du n** 1337, et opérant comme on vient de le faire, on trouverait les formules suivantes, avantageuses dans le cas de q voisin de Tunîté :
D,logM.r) = - ^' -f 7»[Thx'.2(-)"î"'|^].
rv 1 ^ f \ ^•'^' A ^ X? f« Sha/îx'l
D,log^,(x) = ---./2(-i)-,.i— 7
Dans le cas où les fonctions B- ont un argument imaginaire ix, on pourra obtenir leurs dérivées logarithmiques en changeant x en ix dans les formules (22), ce qui donne, par exemple,
(25) D,log5(.\r)=-t-^2(-0"''7'Sh2/ia:.
On peut aussi partir des formules (3) du n** 1344, d'après lesquelles
log5 ( /\r ) = const -f- 2 % ( " "~ ^ ^"'"^* C*^ ^ -^ + ?^""^* ) ' etc., •
et d'où l'on tire, en différentiant,
D;rlog5 {ix) = '^iSh'i,ry --—, \ ,
D,log^.(>>)=fb-^^'"-'2ch4^p-Chc.x^
D, logB Jix) = — Thx 4- 2 Shi jr ^ -—^ ~r — »
Dx logi^a ( /x) = ai Sh 2 X ^^ -T-77 ^ -r — •
' ® '^ ' -^Ch(4« + 2)p4-Ch2j:
1350. Nous avons vu [il6i] que deux fonctions uniformes ei continues dans toute Tétendue du plan et ayant les mêmes zéro> et les mêmes infinis, chacune avec le même ordre de multiplicité, sont égales entre elles, à un facteur constant près.
La fonction de x
3y(«jhj:)^^(a~.r)
est doublement périodique, ses périodes étant ir et 2tp. Elleadmei pour infinis doubles les zéros doubles de [^» ( J:^)]^, et par suite le< zéros du carré de celle des fonctions
sn - > j 1
Ti X X .r
sn - en - an —
U ïî 13
qui a pour numérateur b^{^x\ Par exemple, la fonction
admet les mêmes infinis et, de plus, les mêmes zéros que la fonction
sn' -
Sir -
Pour j: = o, les deux fonctions se réduisent à Tunîté. Donc elles sont égales pour toute valeur de x, c'est-à-dire que l'on a
S,(a -h:r)9",(a — .r) sn'«
a étant égal à -• On établirait de même l'égalité
DÉVKLOPPliMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES. 289
§ VI
