DE FONCTIONS PÉRIODIQUES

1351. Les fonctions elliptiques snuy cnu, dnu ont pour infinis les valeurs de la forme

// = 2/« K 4- ( Qt /ï + I ; /K',

et la fonction tn u les valeurs de la forme

tt = (2iw-i-i)KH-a ///K'.

Il résulte de là que, si par deux infinis consécutifs, correspondants à des valeurs n — i et /i de l'indice «, on mène deux parallèles à Taxe des JT, la bande de largeur aK', comprise entre ces parallèles, ne contenant aucun infini de la fonction, celle-ci sera développable, dans rintérieur de cette bande [1178], en une série convergente, ordonnée suivant les puissances positives et négatives de Texponentielle

Remarquons que la même série ne pourrait servir pour deu\ bandes consécutives. Mais on peut ramener le développement pour une bande quelconque au développement pour une bande donnée, correspondante à un multiple de aïK' moindre de v unités, en remplaçant u par u — aviK', ou x par x — ^"^^ipy ce qui ne peut changer que le signe de la fonction elliptique [1311 J.

1352. La fonction snu étant impaire et changeant de signe quand on remplace u par u -f- 2K, ou a: par x -+- tt, son développement, qui sera convergent dans l'intérieur de la bande comprise entre les parallèles u = ± x K^, aura nécessairement la forme

snu = y flr,„[tfC«"«+i)i>— e-C«"»+i)/']

= \* 2/Vsr„ sin ( 2 m + I j-'^-

a40 LIVRB VI. — CHAP. IV, § VI.

On a [1180], en multipliant Téquation précédente par ef^m+Oir^^ et intégrant,

ette intégrale, considérons l'intégrale prise le long: (lu contour d'un rectangle {Jtg- 107) ayant sa base sur Taxe des x,

Fig. 107.

L — . — L—i — Ja

0 zK

de M = o à u = 4K> et sa hauteur égale à un multiple pair de K', les infinis situés sur les côtés verticaux étant évités suivant des demi-cercles, tous tournés dans le même sens. Ce contour contiendra ainsi dans son intérieur deux files verticales d'infinis, correspondantes aux abscisses 2K et 4K-

Les valeurs de la fonction snu, prises à la même hauteur sur les portions OC et AB du contour, sont respectivement égales, et il en est de même pour les valeurs de la fonction e""f2OT+o*>. Jq^^, [^5 intégrales prises en parcourant ces deux chemins, l'un en sens contraire de l'autre, se détruiront mutuellement.

L'intégrale prise suivant BC pourra être supposée aussi petite que l'on voudra si l'on augmente indéfiniment la hauteur du rectangle. En efi'et, pour w assez grand, l'intégrale prise le long de BC,

est évidemment infiniment petite pour n infiniment grand.

DEVELOPPEMENT EN SERIES PÉRIODIQUES. ^l

Donc rintégrale prise le long du contour du rectangle se réduit à moins Tintégrale prise le long de la base OA, c'est-à-dire à la valeur du coeflicient cherché a^.

Or l'intégrale prise le long du contour du rectangle est égale [ii28] à la somme des résidus relatifs aux a/i infinis contenus dans l'intérieur du rectangle. Si nous considérons un de ces infinis, ayant pour coordonnées l'une des abscisses a K ou 4 K. et Tordonnée (2V-+- i)K', en faisant

, rintégrale relative à cet infini sera égale [1130] à

air/lim y sn[iaK H-(2v 4- i)/K.'-i- v]e(*'«+»)/[it«-»-;i»+i) j+t^»].

Or on a [1289 et 1291]

sn[2aK4-(2v4-i)/K'4-u]==[— ilJ'ânf/K'-^uJzzitLLr. ^ '^ ^ ' j \ j \ è X:snu

donc l'expression précédente a pour valeur

27rf — lim = — j-^-

/• y oSnw A

Les autres facteurs se réduisant à ( — |)i*e~(2m+i)(2H-Of^ l'intégrale sera égale à

Il faut maintenant sommer les intégrales appartenant à l'une des files et doubler le résultat, qui est, comme on voit, indépendant de fx. La double somme, pour v infini, est égale à

27r/ 2r-(*'«+>)? o.ir/ I

Donc la valeur du coefficient am est

^"""Jk Sh(2m-hi)p'

et par suite on a, pour le développement cherché,

, . 2>î v^ sin(2/7i -f- î)x

{•) '""' = T2-Sh(2m+,)p'

H.— Court de Cale, in fin., IV. l6

l4a LIVRB VI. — CHAP. IV, § VI.

1353. Par un calcul entièrement semblable, on obtiendra, entre les mêmes limites, le développement de la fonction cnu, qui a les même infinis que snii. Seulement, cnu étant une fonction paire et changeant de signe lorsqu^on augmente u de sK, son développement sera de la forme

= ^^2a„cos{im •+- i).r.

On trouvera ainsi

, , 2ïj ^r^ cos(2m -4- i)j:

1354. La fonction dnu étant paire et avant pour période réelle aKy son développement, entre les mêmes limites, sera de la fornit.'

z=:aQ'\-^^ia„f cosa/wj-.

En intégrant les deux membres de Téquation de p à 2K, on aura d'abord

On obtiendra les autres coefficients a^ en intégrant après avoir multiplié pare^'"'-*. On trouvera de cette manière

et par suite

(3) dna = ïj/n-2V —

Ch2mp

1355. La fonction tnu a pour infinis les zéros de cnu, c*est-

DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES. a43

à-dire [i293]les valeurs

Il ^:3 (2/71 -I- l)K -4- 2/1/ K', ou .r = (2/71 -+- l)- ~|- 2/Iip.

Le développement sera convergent entre les parallèles correspondantes à u = oetàu:= 2f K', excepté aux points (2m + i)Kde Taxe des Xy qui sont des infinis de tnu. Ces points étant en même temps des infinis de tangx, on peut faire disparaître les infinis du développement, en considérant, au lieu de tnu, la fonction

f ( ar ) r=r tnii — a^ tang j:,

la constante a^ étant déterminée de manière que le second membre s'annule toutes les fois que tnu et tangx deviennent simultanément infinis.

On a maintenant [1294]

utn(K -f- 2v/K'h-v):=(— i)^vtn(K-f-u)

f ^ ^ A'tuu

dont la limite est '- — j, — • La somme des intégrales en question sera donc

Donc

2'«m- x./ l 'i , 4. ^./« - X' ^ "^ Ch2/7l/

et, par suite, (4) tn

*» r* V^ / \M «sin2/7ix|

/i = ^j^tang.H-22(-i)'"7'"ïn^^J-

1366. On a

a« = -^ = — T 9 dou If ama== dniiaii.

Af an II

En intégrant le développement (3) de dni/, on aura celui de la fonction amu:

1 sin^mx

(5) amii =:: .v-T- y

Le terme constant du développement s'obtiendra en faisant, dans le second cosinus de la parenthèse, m = m', ce qui donne

2ïJ^

a — — V__JL__ — ?2! Y y*^-*-'

Ch'(2/w-f-i)/:) X* -^rf ( 1 -T- 9*'"-^7

Calculons actuellement le coefBcient a^, de cosunx. Les nombres m, m^ n'étant jamais négatifs , il faudra prendre pour termes de a^ d'abord; parmi ceux qui multiplient le premier cosinus, les termes dans lesquels 2m + am'-i- a = an ou 7T/=n — m — i, ce qui donnera la somme

~ ^^ P«m+lPfn-î/«-t'

Or on a l'identité

Sh.3 Sha Sh(|3 — g)

Ch«Ch(P — «) "" Chi ^ Ch(|3-^a)

Cha — Sha __Ch(|3 -«)— Sh(l5-«)

Cha Ch(p — a)

Donc

[m-i-ï- it— m— 4- I

2Ch(2/?i H- i)i» 2Ch(2/i — 2/n — i)pj

En sommant cette expression depuis m = o jusqu'à in=.n — x, les sommes relatives aux deux derniers termes sont égales entre elles, et l'on aura, pour cette partie de an.