DEVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES

cette partie de a„y

Uidentité

Sh ? Sh « Sh[a-i-p] <?-^ g-«-P

ChaCh(a-h|3j "~ ~ CÏûc "^ Cli(«-i-S) ""Clia Ch(«-rp)

donne^ pour cette somme, la valeur

«B m+- w in-m+- I

^„, Ch(2/iH-i)p ~~ JL^Ch(2/H- 2/n-t- i)p I

En réunissant les deux parties (A) et (B), on aura, pour la valeur du coeffîcient demandé,

" Sh2fip Sh

[«e OT+- <e w + m-f-r I

^ Ch(2/w-T-i)o ^i*UH2/î-+-2m-i-i)|!) I /i 0 -J

Or les deux sommes de la dernière parenthèse forment deux séries convergentes, composées de termes identiques chacun à chacun; donc elles se détruisent mutuellement, et il reste simplement

" Sh2/ï,o d'où enfin

en

1360. Pour obtenir le développement de sn^a, remarquons que

k ik

la valeur (2) de — cnu se change dans la valeur (i) de — snu,

lorsqu'on remplace, dans (2), x par x et ip par - — ip

(ou y par — q). On aura donc la valeur de ; sn^u si l'on fait

246 LIVRE VI. — GHAP. lY, § Vf.

Le terme constant du développement s'obtiendra en faisant, dans le second cosinus de la parenthèse, m = m', ce qui donne

Calculons actuellement le coeiBcient a» de cos a/zjr. Les nombres m, ni n'étant jamais négatifs, il faudra prendre pour termes de a^ d'abord, parmi ceux qui multiplient le premier cosinus, les tenues dans lesquels 2m-+- am'-h a = an ou ni^:^n — m — i, ce qui donnera la somme

m=ji— i

~* J^ Pfm-l-lPf«-t/«-t-