OT
Or on a l'identité
ShjS Sha Sh((3 — a)
Ch«Ch(p — «) Cha Ch(|3 — a)
Cha — Sha Ch(|3 -«)— ShfÔ — a)
Cha Ch(;3 — «)
Cha Ch(p — a)
~ * ï/n+l Pïi»-îm— 1
2Ch(am-f- i)p 2Ch[a/i — a/» — i)pj
En sommant cette expression depuis m = o jusqu'à m = /i — x, les sommes relatives aux deux derniers termes sont égales entre elles, et l'on aura, pour cette partie de a,iy
Sh2
Pour les termes qui multiplient le second cosinus, on devra prendre ceux pour lesquels m — ni est égal soit à + /i, soit à — n\ les deux sommes ainsi obtenues étant identiques, il suffira de prendre l'une d'entre elles et de la doubler, ce qui donnera, pour
DEVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES. a47
cette partie de a^,
L'identité
Sh ^ Sh g Sh[a-i-|3] __ <?-^ g-'"^
ChaCh(a + |3j "" ~ CÏûc "*" Ch ( a -h ô ) ""Clia Ch(«-r J3)
donne, pour cette somme, la valeur
2d^ ch(2/in-i)p ~~ JL^ch(2/n- 2/«-t- i)p r 0 0 J
En réunissant les deux parties (A) et (B), on aura, pour la valeur du coeflicient demandé,
y JlJ V 1 ! .
Sh2/<p Sh
Or les deux sommes de la dernière parenthèse forment deux séries convergentes, composées de termes identiques chacun à chacun; donc elles se détruisent mutuellement, et il reste simplement
d'où enfin
ciru -
Y* I ^ cos2/î.r I
2rfCll*(2/l — l)p"^^-2rf'' Sh2///»
1360. Pour obtenir le développement de sn'u, remarquons que
k ik
la valeur (2) de — cnu se chancre dans la valeur (i) de — snu,
lorsqu'on remplace, dans (2), x par x et ip par ip
k* (ou y par — q). On aura donc la valeur de ; sn^i* si l'on fait
aSo LIVRE Vi. — CHAP. IV, § VIÏ.
De Téquation ( 2 ) on tire, pour les valeurs des autres fonctions elliptiques de Iku, jU
cn( X-tt, j J = v^i — z* = ^1— X*sn*(«, X) =:dD(a, /),
dnfXtf, -j = 4/j — — z=y^i — sn*{tt, X) = cn(ii, /).
En posant, pour abréger.
on en conclut
tang - «•îm I ku^ - j = /,
-en (/•«,!)
I4j """X/ T. TT ~~ V ' -^dntt~" I -hdntt
-4- en
— dn tt X sn «
= etc.
On en tire, réciproquement,
dntt =: zi Xsntt = :» etc.
En faisant snu = Z| et substituant ces valeurs dans l'équation
on aura
1363. Si l'on pose maintenant
TRANSFORMATION DE LANDEX. StSl
Tégalité (5) deviendra
6 uz=z \ __=.
DonC; si Ton considère un nouveau module / et un nouvel argument v^, liés aux anciens, h et Uj par deux relations auxquelles on peut donner les formes suivantes :
(7) / = -, /' nzrv^l — /* = 77? X'=: -,i k =z -,
(8] P= //, U=^ --i»=(l+/]r, Xw =zr 2 à// . P,
et dans lesquelles u et i' varient dans un rapport constant, les fonctions elliptiques correspondantes aux deux systèmes [uy Ar), [u, l) seront liées entre elles par la relation
Nous conviendrons, pour abréger Técriture, de rapporter au module / toutes les fonctions elliptiques de l'argument v où le module ne sera pas explicitement indiqué. Nous aurons, d'après cela,
n ï /, ï\ . /* — ^»" V^.SQP = f = tane-aml ak, -1 = 1/ —
' '^ 2 \ A7 V I -h dntt
V I H- A* sn « — V * — Al sn tt
^i -h X' snii + ^1 — ksnu
ce qui donne
- . /i-+-^sntt i + vu.snp
On voit par là que z = snu et j* = snç' sont liés entre eux par une relation du premier degré en z et du second degré en j*. Cette transformation du système (z, k) dans le système (j-, /) est dite, pour cette raison, une transformation du second degré.
Comme on a <^ ou i , il s'ensuit des équations ( 7 )
a5o LIVRE VI. — CUAP. IV, § VII.
De Téquation (2) on tire, pour les valeurs des autres fonctions elliptiques de Ikuy 7 ji
cnUu, j\ =z v^i — z« = v^i— X*sn*(«, A) =dn(ji, l\
dnU«, -jznâ/i — ij=z:^i — sn'(ff, X) = cn(ji. /;.
En posant, pour abréger^
on en conclut
tang - am ( Au, - J == /,
-cn(x«.i)
— ânu A sn «
"=etc.
-hdnu i + dna en
On en tire, réciproquement,
dnw = 1% Asnu = r» etc.
En faisant snu = i^i et substituant ces valeurs dans l'équation
on aura
1363. Si Ton pose maintenant
TRANSFORMATION DE LANDEN. a5l
Tëgalilé (5) deviendra
DonCy si Ton considère un nouveau module / et un nouvel argument Uf liés aux anciens, k et u, par deux relations auxquelles on peut donner les formes suivantes :
(8) P= II, 11= -i'= (l -f-/]p, /ll=i2à//.P,
et dans lesquelles u et i' varient dans un rapport constant, les fonctions elliptiques correspondantes aux deux systèmes [u, k), [u, l) seront liées entre elles par la relation
Nous conviendrons, pour abréger Técriture, de rapporter au module / toutes les fonctions elliptiques de l'argument v où le module ne sera pas explicitement indiqué. Nous aurons, d'après cela,
V/.sne =: ^ = tang-ami ku^ -- ) 1= i/ —
' ^2 \ A/ V i-h dnii
V I H- A- snii — V ' — A- sn II
^i -h X' snii -4- ^1 — A: snii
ce qui donne
^snii i -\- y/.snp
A^snii 1 — ^.
snp
On voit par là que z = snu et j* = sn^ sont liés entre eux par une relation du premier degré en z et du second degré en j*. Cette transformation du système (z, k) dans le système (j*, /) est dite, pour cette raison, une transformation du second degré.
Comme on a <^ ou i, il s'ensuit des équations (7)
25a , LIVRE VI. — CHAP. IV, % Vil.
Cl (8) que Ton a à la fois
X'> ^>^ et u>>o.
Donc la transformation précédente diminue à la fois les valeur> du module et de Targument des fonctions elliptiques.
1364. Des équations (lo) ou (ii) on peut tirer les valeurs de toutes les fonctions elliptiques de [v, l) au moyea des fonctions elliptiques de (u, Ar). On trouve, par exemple.
/ srip
/i -h k' I \ — dn M
~ V I — X' V i-f-dna'
/ *i. /ànu — k'
V I H- X V I -H dott
tnp t
~ — = tn «,
dm» IH- /
/ sncp
— /i-f-X' /dntt — X-' I ik / I — dnic
/ aX' /i-f-diii£
dner . ,.
= (' — /] tna.
A ces formules on peut joindre celles qui donnent les fonctions
elliptiques du double de l'argument i/. On a, par les formules (M)
dunM315,
en* u — sn* tf dn* a
cn2i/ =
I — X-*sn*tf dn* u — X * sn* u en* u
dn2ii =
1 — X* sn* u
TRAN8P0RMATION DR LANDEN. :i33
Si l^on pose, pour abréger,
VMMh~dnâ«^ U,
on aura, par les formules précédentes,
dnap=Y|» cn2P=— ■•
§ Or on trouve facilement
^(S4-T)*=:i + cn2tt— l(i — dn2//), 7(8 — T)*=:i — cnatt— ~ (1 — dn2i/).
En mettant pour en 2Zi, dnaa leurs valeurs en sn^w, il vienl
- 2(1 — A:»sn*tt) „,
