I -h Cli'lU r~ -i — i

I — A * sn* u

2(sn*tf — A*sn*iz]

1 — en 2 // = — ^ -2 — 7 • •

1 — A ' sn* u

D'après cela,

S -f- T ^. en* // S — T j/2^A'«n* u

2 V^i — X*su*« ^ y/i — Â:*sn*tf

et par conséquent

, en* // -h Â:'sn* u en' u — /'sn* u

dn2P:=: r-i » Cn2i'=: r— 7 >

dn' tt dn' «

ou, sous une autre forme,

( dn2P = cni£ snci/ -h snz/cnc£/, f cn2P=:: cnwsncii — sncecnctf.

1365. Puisque - est constant, on aura, pour u = K., ç» = K.

Or les formules précédentes donnent, pour u = K., cnç» = o, sans que la fonction cnç' puisse s^évanouir pour une valeur de u comprise entre o et K, et, comme u et i^ croissent dans le même sens,

I -f- X' il faut que la valeur K soit égale au quadrant elliptique L

correspondant au module /. On a donc (i5) i.^I±JLk.

De même, si Ton change uen lu, p se change en iV, et la valeur (12) de en i' devient

en'

On aura cnV = o, et par suite 1^ = le quadrant complémentaire L' correspondant au module l\ lorsqu'on donnera à u une valeur telle que Ton ait

snc' a = sn'(K'± « ) — — 1 — sn'3K', K'±u— 3K',

d'où ±u= 2K'. Comme u et ^' sont de même signe, on prendra ici le signe -f-, de sorte que 2K' et L' sont deux valeurs correspondantes de u et de v. Donc le rapport de ces deux valeurs est ' — ?

c'est-à-dire que l'on a

Les équations (i5) et (16) donnent , , L' K' K' 1 V

[in] — =: 2 — ■ * ou — 1= — — •

Donc, si l'on désigne par

ce que devient la quantité q lorsqu'on change k en Ij on aura

(18) r = q\ q — >Jn