TRAN8P0RHATI0N DE LANDEN

1366. Si l'on représente snu par Zy sn^^ parj^, Téqualion (lo)

,- ^ i -+■ fiz — J\ — kz

y>Ji= -^== -

pourra s'écrire sous la forme

IQ) kz=z ■ , '

Telle est la forme la plus simple de la relation entre les fonctions snii, sn^, qui a fait donner au passage de Tune de ces valeurs à l'autre le nom de transformation du second degré [1363].

1367. La transformation que nous venons d'exposer, et dont la découverte est due à Landen, fournit une des méthodes les plus simples pour le calcul numérique des intégrales de première espèce.

Si l'on applique plusieurs fois de suite cette transformation, on obtiendra une série indéfinie de modules complémentaires

dont chacun se déduit du précédent en vertu de la formule

Le calcul des quantités k'^ acquiert une grande symétrie si l'on pose

(21) k=:—j Aj=-— , ..., A=-^> •••»

m ' /7i| ** ntp

auquel cas la formule (ao) devient

le rapport des nombres np, mp étant seul déterminé, on pourra supposer ces nombres respectivement égaux aux deux termes de la fraction du second membre, ce qui donne

mp = ) iip = \nip^i fip^i .

La détermination de ces deux suites de nombres modulcdres se fera donc par le calcul de deux suites de moyennes, les une> arithmétiques, les autres géométriques. On aura ainsi successivement

Ces deux suites sont l'une décroissante, l'autre croissante, et chaque nombre de la seconde est toujours moindre que son correspondant de la première, tandis que la différence de ces deux nombres décroît indéfiniment. Les nombres des deux suites tendent ainsi vers une limite commune yj, comprise entre i et A', et dont ils se rapprochent très-rapidement.

En même temps, les rapports (21) convergent vers l'unité, el, au bout d'un petit nombre d'opérations, on parviendra à une valeur A' sensiblement = i . On pourra considérer alors kp'=y/i — h'.' comme nul, et par suite K^ comme égal à -• C'est ce qui résulte de la relation (17) du n** 1365, d'après laquelle on a

K^ ne pouvant jamais devenir moindre que -, K'^ doit donc croître

indéfiniment, et, par suite, A'^ doit converger vers Tunité etkp vers zéro.

1368. Cela posé, la relation entre deux quadrants consécutifs

amènera la suite d'égalités

Kl "" m^ Kl "~ /w, Kp rn~^ '

qui, étant multipliées entre elles, donnent

nip

CALCUL NVHéRIQUB DBS INTEGRALES ELLIPTIQUES. aSj

Si p est assez grand pour qu'on puisse supposer nip égal à la limite iq, et K^ = -9 on aura alors, à cause de m = i,

Si Ton fait le calcul analogue en remplaçant le module A' par /r,

on obtiendra la valeur du quadrant complémentaire K', et par suite

celles de

P=:ï;K', <7 = <r*'P, etc.

1369. Considérons maintenant une intégrale elliptique de première espèce et d'argument quelconque, donnée par son module h et par une quelconque de ses fonctions inverses snu, cnu, ••., ou, ce qui revient au même, par son amplitude (f :

^Hn

Aux diverses valeurs de k'p obtenues par la transformation pré cédente correspondent diverses valeurs de dnu ou A^. En remplaçant Vp par sa valeur (211), et posant

V^ = yjnil ces» ^p -+- /!?* sin« y^, on aura, pour la p**"" valeur transformée.

nip

Si Ton substitue dans la troisième équation (la) du n^ 1364,

^ / 2 /dniz-hX'

la valeur précédente, on aura généralement

yp //W;,-i A|,-i

nip \ THp y ntp^^

-iH-V„-i

ntp Y ^p V '''/»— 1 "*■ Vp— 1

En posant maintenant

V;, np

W;, Vp

H — Cottr^ <fc Cale, infime., ÏV. 1 7

a58 LIVRB VI. — CHAP. IV, § VII

on en tire les deux formules

au moyen desquelles on formera deux suites de nombres.

correspondants aux nombres modulaires m^, tip.

Les nombres ^p=zmpUp::= ^ tendront vers la limite

v'î5*cos*9*^-+- i;*sin*y^rr:ï:,

et par suite les nombres [ip, Vp vers l'unité; donc — ^ tendra aussi

vers l'unité. Or on a, d'après les formules de transformation (8) du n« 1363,

/flp **

d'où l'on conclut, comme au n? 1368, pour;; suffisamment grand,

Donc la limite de Up est YiU ou .r.

De plus, par la quatrième formule (la) du n® 136i,

tntt„,= i — ln//,„

et, lorsque p est assez grand et kp sensiblement nul, Inup se confond avec tangi/p ou tangx. On a donc, en multipliant entre elles

les égalités

l'équation

tnii = — Inwi, tniii =: — tutfj, ..., Vi Vï

m m* rn,f^\

inu=z tang:» = • • • ~ — tango?,

Vi V, Vp

d'où l'on lire, à cause de m == i et de V/> = ^7

CALCUL NUMERIQUE DES INTEGEALE8 ELLIPTIQUES. sSq

Connaissant x au moyen de celte équation, on en déduira la valeur de

On aurait également pu, en partant des formules

{ I -l X' ^ sn // ( I -1- A ' 1 en //

sni/i=^ 1 snciii= i— - — -^ >

i + dnif /'-hdntt

calculer des expressions de sin jr, cos x, analogues à celles de tang x. Le calcul numérique de ces expressions est notablement simplifié par remploi des logarithmes d'addition et de soustraction.

1370. Les mêmes nombres modulaires qui ont servi à calculer K peuvent aussi conduire à la valeur de q^ et par suite aussi à la valeur de K'. Pour le démontrer, posons