I -hq
h -'l'y ['-l'y (Luiy
produit dont il est facile d'établir la convergence, lorsque q csl moindre que Tunité. En vertu des identités
le produit pourra se mettre successivement sous les formes suivantes :
-:.-.)(i-fy(f^y(^y-
ou enfin
*J!6o LIVHB V I. ~ CHAP. IV, § VII.
ce que Ton aurait pu conclure immédiatement de la première transformation, qui peut s'écrire sous la forme
On a donc, quel que soil r/,
.-,=(;-lf{^y {-$)'•■■■■
Or nous avons trouvé [1336]
et par suite, la transformation de Landen chang^eant ç en g^ [1365\
cr
^ *' 11 iH- ryM^/'-Hi;
Donc le produit
est égal au produit de toutes les expressions
dans lequel on aura donné à n toutes les valeurs entières de zéro à l'infini. Donc
(.) VX' *•?*'/... r.JJ(. -,»-«-).
Or, d'après ce que nous avons établi au n' 1336, on
CALCUL MMBRIQUB DES INTEGRALES ELLIPTIQUES. a6l
d'où Ton lire, en vertu de la relation MM'N'= i,
Donc, en vertu de la formule (i), on aura
ou, en mettant pour A/, /r'^, ... leurs expressions au moyen des nombres modulaires,
Connaissant f/y on en tirera les valeurs de (3) p = l.\ogl^Ts¥i\ K'==— logl.
1371. Ou peut encore déduire des formules de transformation établies au n° 1364 une méthode très-prompte pour calculer dans tous les cas la valeur d'une intégrale de première espèce, donnée par son module et son amplitude. Cette méthode est surtout commode lorsqu'on fait usage des Tables qui donnent les valeurs de
log '- correspondantes à celles de logx.
En appliquant à l'intégrale u deux transformations successives, la première changeant (m, A", y ) en (^^, /, y*), la seconde changeant {^1 'î 7*) ^^ {^7 ^} V*)i l^s formules (i4) du n® 1364 donneront
cn2(v = cnpsncf» — snt^cncc.
dn^tï' =1 en v soc i» -+- sni» cnc p.
Si l'on remplace maintenant les fonctions de v par leurs valeurs tiréesdes formules(i2) et (i3) du même numéro, on trouvera, par un calcul facile,
en f?»«' î -h s/ A' dn « — s/J'
clii2«v~ ,.-,Yit' dnii4- vï^'
'/O* LITRE TI. — CHAP. IT, | Tfl.
en 3i*t"
Exprimons maÎDteDant le rapport aa moTen des fonctioiisS^,
■ ■* dnstf *
en remarquant que la transformation de Landen, laissant le rapport — = j- constant, ne change pas la râleur da rapport
il viendra
en 2n« I S-,' ax, q^ *
A Taide des relations
1 + ^*' l-4-Vi'
on en tire
,,, .dn«-^^
ç'cosaj--!- ^cos6j--i-. , .)
dn«-t-iX' * -T-a7*cos4x-f-29»*ctw«^-H...
Si Ton fait maintenant x=o dans cette équation , et que Ton pose
il vient
équation d'où Ton peut tirer la valeur de q au moyen de celle de a, soit par la méthode des substitutions successives, soit en développant q suivant les puissances de a par la méthode des coefBcieDts indéterminés. Dans ce dernier cas, on aura une série de la forme
q -=L a^tf. -+- a^uiS-^- «,«•-+-. . ..
En effectuant le calcul des coeflicients, on trouve
(6) 7 = a-h aa*H- iSa'H- l5oa"-h.. ..
Si Ton développe à son tour a en fonction de Ar, on obtiendra
CALCUL Nl'HKRIQUE DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. 2C3
cette autre série
16 32 \oi\ Connaissant^, on en tirera successivement
Tk • • . 1 . . dn// A»
Pour avoir maintenant u, représentons la quantité — - ou --=.
par -I d ou
Ay -h v /
L'équation (4) deviendra, en y négligeant les puissances de q ou de a supérieures à la huitième,
Ç (9] cos'Ax = — [ 1 — ^v!* [\ -\- TyoL*) sin* o.r],
En résolvant celle équation par approximations successives, lorsque a^ n'est pas négligeable, on aura la valeur de ax, et par suite celle de
1372. Tant que les quantités Ar et ^ ne sont pas très-voisines de Tunité, ces formules seront rapidement convergentes. Ainsi, pour
0 =: arcsinA-^C 7» on a ^«cCT -:ri d'où q^<l -tî » de sorte que la
huitième puissance de q est sans influence sur la dixième décimale.
Mais si Xr et ^ approchent de l'unité, on prendra, au lieu des for^
mules précédentes, cette autre série de formules, d'autant plus
avantageuse que Ar et ^ seront plus voisins de i ; ces formules se
déduiront sans peine des précédentes, en prenant pour 3-2 et ^-3 les
264 LIVBE VI. — GHAP. IV, § VU.
expressions (i4) du n* 1346.
I I — Jk A» I , I -+- P
' = ; —rji' TT— ^ ^ Vu- X-tang'y = -±1, ^- i-\-yk yi.cos^ vil- ï — ^
If + vA-.cos^
' Chax'.:r.iljn-4«'(i-i-5«'*)Sli*2.r'l, F(a>) = « = ^.ax'.
1373. Exemple. — Proposons-nous de calculer la valeur de rintégrale
Jo V • — X'sin-'y
correspondante aux valeurs
X '— sino*i,8(=:sm72**).
Nous supposerons que le lecteur ait entre les mains une Table des logarithmes d^addition et de soustraction, disposée, par exemple, comme celle qui est contenue dans les pages 8 à 1 1 de notre Recueil de formules et de 2ables numériques. De plus, on a un immense avantage à employer, dans ces sortes de calculs, les Tables construites suivant la division décimale du quadrant, telles que les Tables de Plauzoles, ou celles de Hobert et Ideler.
Il faut commencer par calculer les valeurs des constantes K, 4/, K', qui dépendent du module k. Nous emploierons d'abord la transformation de Landen. On a les valeurs logarithmiques suivantes :
