Soient y une fonction indéterminée de x, et

une fonction, de forme donnée, de x, dey et des dérivées de^'. I/intégrale déûnie

prise entre des limites constantes ou variables Xq et x^ , changera de valeur suivant la relation que l'on établira entre .r et^ et suivant les valeurs des limites Xq et Xi , si celles-ci sont variables.

On peut se proposer de déterminer la fonction inconnue j* (et, s^il y a lieu , les limites Xq et x^ ) de manière que l'intégrale u prenne une valeur maximum ou minimum parmi toutes les valeurs qui correspondent à des déterminations de la fonction j^ (et des limites) infiniment voisines de la détermination que l'on cherche.

En d'autres termes, en supposant d'abord que Xq, Xt soient des quantités données, si, pour chacune des différentes courbes 6MD, B'M'D^ . . . , qui représentent les différentes déterminations de la fonction j^, on construit les courbes correspondantes ENF,E'N' F', . . . ,

[,fiS' ^7)' ^^^^ ^®s ordonnées représentent les valeurs de la fonction V pour les mêmes abscisses, on peut demander à laquelle des courbes BMD,B'M'D', ..., représentant j', correspond celle des courbes ENF, E'N'F', . . . , représentant V, dont Taire AENFC est

Fiff. 87.

un maximum ou un minimum parmi les aires de toutes les courbes V infiniment voisines, A et C étant les points de l'axe des x.

Plus généralement, en supposant les limites Xq, x^ variables, de façon, par exemple, que les extrémités de la courbe des j^ soient assujetties à se mouvoir sur deux courbes données CC, DD ifiS' ^^)» ^lors aux courbes CD, CD' , . . . correspondent, comme représentations de V, les courbes EF, E' F', ..., qui se termineront,

Fig. 88.

comme les premières, à des abscisses variables d'une courbe à l'autre. On aura alors à décider laquelle des aires AEFB, A'E'F'B', ... a une valeur maximum ou minimum.

La résolution de ce problème et des questions analogues forme l'objet principal du Calcul des variations,

963. On donne le nom de variations aux accroissements infiniment petits, tels que MM', que subissent l'ordonnée j^ et les quan-