OBJET DU CALCUL DES VAHIATIONS

lîlés qui en dépendent, lorsqu^on passe d^un point M d'une courbe au point M' de la courbe voisine qui correspond à la même abscisse (* ), et Von désigne ces variations par la caractéristique $,

On a ainsi

MM' = d^-, NN' = ^V.

Nous désignerons pareillement par la caractéristique $ les accroissements des limites

AA' = ^xo, BB' = o.r„ ainsi que tous les accroissements qui dépendront de ceux-là.

964. Lorsqu'on passe de la courbe CD à la courbe CD', la valeur de l'intégrale / Vdx est représentée par la différence des

aires AEFB, A'E'F'B'. En négligeant les infiniment petits du second ordre, on voit, comme nous l'avons déjà dit à propos de la différentiation sous le signey['l70], que cette différence est égale à

EFFj El — AEE, A' + BFF,B',

en considérant, dans EFF| E|, comme négative la partie de l'aire comprise entre les deux courbes, pour laquelle E' F' est au-dessous «le EF. Or ces trois aires ont pour valeurs respectives

EFFiE, =:r '^Vi/x, AEEjA'=Vo<yxo. BFF,B' = V^r^r,. Donc

ou, en faisant usage d'une notation abrégée que nous avons déjà employée, et posant, en général, X, — Xo = [X]J,

(') Ne derant nous occuper ici que de la yarîatlon des intégrales simples, nous «Tons po, sans inconTénient, adopter la simplification qui consiste à prendre pour points correspondants des deux courbes ceux qui ont la même abscisse, ou à supposer ix = o.

formule qui coatîent comme cas particulier celle de la diflerentiation sous le signe y.

Si l'on connaissait les équations des deux courbes CD, CD', on connaîtrait en fonction de x les valeurs des différences d^, dy\ ij '^ . . . pour les deux courbes ; on pourrait, par suite, obtenir

Oj ôj uj

puis rintégrale

965. Avant de chercher les conditions du maximum ou du minimum de Taire de la courbe EF, considérons, au lieu de courbes, deux polygones CD, EF, en supposant que les sommets du second aient les mêmes abscisses que ceux du premier, et que, pour plus de simplicité, ces abscisses soient fixées d'avance. De plus, les ordonnées des sommets du polygone EF dépendent, suivant une loi connue, des ordonnées des sommets du polygone CD, qui sont les variables indépendantes avec lesquelles varient tojus les éléments de la figure, et en particulier Taire du polygone EF. La variation ^a de cette aire sera une fonction de toutes les variations des ordonnées des sommets du polygone CD.

Pour que Taire du polygone EF soit un maximum ou un minimum, il faut que la variation da conserve toujours le même signe, quel que soit celui des polygonçs infiniment voisins de CD que Ton compare à CD. D'après ce que nous avons vu sur les maxima et minima des fonctions de plusieurs variables indépendantes [403], il faut pour cela que le polygone correspondant au maximum ou au minimum soit tel que la partie de du qui est infiniment petite du premier ordre s'évanouisse, quelles que soient les variations des variables indépendantes. On devra donc égaler à zéro le coefficient de la première puissance de la variation de chaque variable indépendante, ce qui fournira autant d'équations qu'il y a de variables indépendantes.