CALCUL NUMÉRIQUE DBS INTÉGRALES ELLIPTIQUES
tàUgX Oy5l527
.r = o*ï, 8 II 36
X (en quadr.) î ,90922
On aurait pu aussi calculer directement K — u en remplaçant
dna et tnu par dncu =' — > tncu = — j ce qui aurait un peu
abrégé les opérations.
Appliquons maintenant au même exemple la méthode du n^ 1371. Il est avantageux dans ce cas de faire usage de la Table
qui donne la valeur de la fonction log pour chaque valeur
de logx.
Dans l'exemple actuel, on a
2a lj^55Sl
a Tyl 5448
i-O LITBK TL — CBkW. IT, { Tilt.
«^»>ax, — î,C)IC)u3
— 4»' sm-i-r, — 1,713
f — 4^^ sin*r».r, — a3
COS2r — 1,91880
x= o*ï,8ii36
etc . . . •
§ Mil.
DES ihtégkales elliptiques de seconde espèce.
1 37 4. Soit r intégrale
Kn suivant la même méthode qu'au n' 1262, on veiTait d'aboinl que
ccîtte intégrale admet les mêmes points de ramification et les mêmes
«'Ontours élémentaires que l'intégrale elliptique de première espèce.
Si l'on parcourt le contour élémentaire (-h*)^ l'intégrale priso
INTBGRALBS ELLIPTIQUES DE SECONDE ESPACE. 2't
le long de ce contour sera égale à aE, E étant V intégrale complète de seconde espèce
On reconnaît ensuite que , si Ton parcourt alternativement les contours élémentaires (+ i) et ( — i), l'intégrale croîtra d'un multiple de la période aE, le radical ayant, à la fin, le même signt^ qu'au départ ou un signe contraire, suivant que le multiple en question sera pair ou impair.
1375. Supposons maintenant que Ton parcoure le contour ( "*" 7 ) * ^^ évitant le point + i sur un demi-cercle supérieur, dt; rajon infiniment petit /'. On aura d'abord, de o à i — r, TinlégraKî
dont la limite est E.
Si Ton pose
l'intégrale prise le long du demi-cercle sera
— r* / Ze* i/p,
OU, Z étant sensiblement constant,
Donc l'intégrale prise à partir de z = i-H r aura une valeur imaginaire positive, de la forme H- ih^ : telle sera donc la forme de l'intégrale
iH-r ^V » — 3
a;^ LIVRE VI. — CHAP. IV, I VIII.
tlont la limite est
Si Ton fait, dans cette dernière intégrale.
elle prendra la forme
ou bien, en introduisant l'amplitude cp'= arcsinz', cl posant
Or on a [1305], en faisant / - ,^ , = \ %^ c'est-à-dire
'*sin7' coR«>'
l'intégrale E'(cj') correspondant, comme A'y^ au module A:',
et, par suite,
fd.y/i^t^i^K'-E-)=.r,
g^ étant positif.
A partir de z = - jusqu*à s = oo , chacun des deux radicaux
y/T^z-, y^i — h'^z^ ayant été multiplie par i, leur quotient sera réel et positif, et il en sera de même de Télément de l'intégrale
et par suite de l'intégrale elle-même.
Si maintenant, du centre O avec un rayon infiniment grand K, on décrit un quart de cercle allant de Taxe des x positifs à Taxe des j^ positifs, l'intégrale devient, pour z = Re'^,
Enfin l'intégrale prise depuis -\-ico jusqu'à o sera
i I dr i / — =1 - i/i.
En égalant à zéro l'intégrale prise le long du contour total du quart de cercle, dont l'aire ne contient aucun point de ramification, on aura l'égalité
E 4- I (K' — E' ) -+-/• H- A-R(/ — 1) — ih = o,
qui se décompose dans les deux suivantes :
E -+-/*— AU = 0, K' — E'-+- kR — h — o.
Le terme/* étant positif, — ÂR doit être négatif, et, par suite, A^R doit être positif dans la seconde égalité. Donc l'intégrale
a priori, et elle est infinie avec R.
On a donc enfin, pour l'intégrale prise de . à -f- -r» sui\ant le
chemin indiqué,
H. — Cours de Cale, in/înit., IV. 18
jj^4 LIVRB VI. — CIIAP. IV, § VIII.
Donc rinlétrale prise le long du second contour élémentaire sera
Si Ton ajoute maintenant aux parcours répétés des quatre contours élémentaires un chemin rectiligne, et que %^ soit l'intégrale prise le long de ce chemin, lorsque les deux radicaux ^U — 5-, Ji — À^T* partent de O avec la valeur -h i , la valeur générale dr rintégrale E((p) ou ela sera
eU = 2 [m ^ /ijE -4- inHYJ - E' ) -4- (— i )-+«r, ou, si Von remplace w-+-/t par ^, n par v,
eU = 2uE -+- 2v/( R' - E') -f- (— I >P.
1376. D'après la définition, on a
On en tire aisément [1308]
Si l'on change « en i«, on a [1319]
^ei(/«)=J^ da',w.=j^ 7;?^i^''=l T^i^;?^,,,,)^,,,.,.
Or on déduit facilement, de la formule (i) du n*> 1306,
^1 r"/'' ■ = tn'iidn « -h X'*« — el'«.
Donc
IS) - e\iu = u — cV u -+- tn' i£dn' u.
1377. Le théorème d'addition pour les intégrales de seconde espèce. — Reprenons les notations du n** 827, V, et posons, de plus,
On en tire, en différentiant,
(6) if€ff-\-ix,dx = dV,
équation à laquelle il faut joindre la suivante :
î^ + ^— o, ou
Cette équation, ajoutée à l'équation (6), donne
On a d'ailleurs, en posant © -h ^ == />,
« • » « At -h T
A» -♦- Av 1=: B sin o, ou B = — : :
^ ^' *^ sino" ^
donc
</U= Bsïnpdpf d'où
U = — B cos/F -4- C, c'est-à-dire
E(?)-hE(/J=-.^^cos(3p+x)^-C.
Pour déterminer la constante C, faisons cp = o, d'où ;( = a, et, par suite,
^f y AT -H î
Efff = : COSd-HC.
^ ' sino-
On en tire, par soustraction,
E(?) -♦• E(/J - E((r) = - ^J^ [cos(7 + x) ^ ^^l
a^G LIVRE VI. — CHAP. IV, § VIII.
OU, en vertu de la relalion trouvée au n« 827,
E(ç)4-E(x]-E(<^) = -4!rT^sinî>sinx{i— A<r),
siua
ou
enfin
c'csi-à-dire
Si Ton suppose il vient alors
tt 4- «• = K.»
e\u -t- el(R — «) — E = A* snii snc«
sn u en «
dn
1378. L'équation (3) conduit immédiatement au théorème de Fagnano [746]. Si Ton désigne, en effet, par asin<p, &COS9 les
Fig. 108.
coordonnées du point M' (/^.io8), et par asinx, h cos^ celles du point M; si, de plus, on pose
k étant égal à rexcentricité de Tellipse, on aura, pour v = K — u.
Ir sm9>ros©
c'cst-à-dirc
fl/'sîn9COSa> BM' — AM z= -^ ^>
expression égale à — h ou à MT, si Ton a pris y = u.
1379. Le théorème d'addition permet d^exprimer^ à l'aide de fonctions d'arguments réels, une intégrale de seconde espèce ayant un argument complexe u -H iV. On a, en efiet, par la formule (7),
el ( tt -h iV ) = el tf -h el /V — /* sn u sn Iv sn ( « H- 'V), ou, en ayant égard aux formules du n^ 1376,
el(ii -h iv) ^= eltt -H i[v — elV 4- tnVdnV)
(9) 1 ,m , en// (lnf/sn'//on'« — /snwHn'i»
-HA'sntt tnV» — 7- •
I — du*«sn *p
1380. Des formules (a3) du n" 13i9 on tire, en dlfférentiant,
n --r = -Dilog^ j: =-D„Z i£),
Sha/ia 2 ® ^ ' 2 ^ '
Substituant cette valeur dans la formule (a4) <^u n^ 1361, il vient
Si Ton intègre à partir de u = o, on en tire
En faisant, dans les deux membres, u^K, l'équation devient
d^où, en éliminant la somme infînie entre ces deux équations, et mettant pour vj sa valeur -—9 on conclut la formule
(u) elii=: —tt-f-Z («) = — « 4- uD;elog5(x),
268 Livas VI. » cnAP. iv, $ vu.
sin'v 1,9892398
jt'sin*»
Î . cwi56S 2^
I — Ar* sin'3?= A*^. . . .
A» .. V tA. a E . . . . . X
l^nSAnX
mr^j ;^-) «5091 ...(-) 15091
.'^î ï,87o?4 vj ïi9^79<>
^ï î»99^6^ '1 ï»999^^ 1-+-U,... o,3oo37
uj .... 0,00000 V- . . . . 0 ,00000 Uj nzr V3
tang^ 0,80029
CALCUL NUMBEIQUE DBS INTÉGRALES ELLIPTIQUES. S169
tàngx o,5j527
.r = o*î, 8 II 36
jr(enqaadr.) 1,90922
On aurait pu aussi calculer directement K — li en remplaçant
dnu et tni« par dncu =± — > tncu = --; » ce qui aurait un peu
abrégé les opérations.
Appliquons maintenant au même exemple la méthode du n° 1371. Il est avantageux dans ce cas de faire usage de la Table
qui donne la valeur de la fonction iog '- pour chaque valeur
de logo:.
Dans l'exemple actuel , on a
2a Jj^SSSi
- o.iq6i2
a8o LIVRE VI. — CIIAP. IV, § VIII.
1382. Calcul numérique des intégrales elliptiques de seconde espèce, — On pourrait appliquer au calcul de ces intégrales la méthode des transformations modulaires dont nous avons fait usage pour calculer les intégrales de première espèce. On trouvera les détails de cette application dans les Traités de Gudermann et de Schellbach. Nous nous contenterons ici de rappeler les procédés que nous avons indiqués dans ce qui précède, et qui sont suffisants dans la pratique.
On commencera par calculer, par un des procédés exposés plus haut, les valeurs des intégrales K, K', u et des constantes y, (f. On déterminera ensuite la valeur de Tune des intégrales complètes E, E', en prenant de préférence celle qui répond au plus petit des modules Âr, Âr', et se servant de la série indiquée à la fin du n" io5. En posant ainsi, dans le cas où A* < A',
k r=r sin 0, h =z f mg -^ = y/ -^-j y on aura
(i-/»sin«?»)^r=cos'-[ i"h(^] /i*e«'?4-... irn-^i^j //»tf-*/î4-.-.], d'où, en ne conservant que le terme constant,
A.= ,.os'^[, + (i)'/,'+(^)[,
et, en intégrant de o à -> il viendra
n Câ ^^^ — Aq.
Puisqu'on peut toujours supposer 0<[-^> la quantité tang* -> par rapport à laquelle la série est ordonnée, sera, dans ce cas, <^^> et par suite la série sera très-convergente.
Si la série qui donne la plus grande des intégrales E, E' est trop peu convergente, on pourra alors tirer cette intégrale de la formule de Legendre, établie au numéro précédent.
On pourrait calculer de la même manière l'intégrale d'amplitude
INTEGRALES ELLIPTIQUES DE SECONDE ESPÈCE. iSl
quelconque E(f )) dont le développement serait semblable à celui que nous avons donné pour F (9) au n** 455-, et où entrent directement Tamplilude et le module donnés.
Mais, lorsqu'on a déjà obtenu u et K ou q, il est plus simple d*; calculer E et E(o) = ela par les formules du n" 1380,
el«=r^//-4--^D^log^(.r),
auxquelles on peut toujours donner une forme, très- convergente. Exemple, — Si Ton prend, comme au n** 1373,
y=o*î,9, arcsinX- ^=: o*i,8,
les formules précédentes donneront
puis
d'où
log ~ — Î,6'2G88, E ^r: I , I O II ,
eltf rrr ijoSo^G.
