IX

1383. Nous avons vu [1308] que la forme générale des intégrales de troisième espèce peut se ramener à celle-ci.

OU, en posant (f = amu,

IT'ani//, /î) := 1 r-

. L I -h /ï su- u

aBa LIVRE VI. — chap. iv, § ix.

le module étant toujours représenté par la lettre k, à moins d'Indication contraire. • ^

Si Ton fait sinf = snu = z, l'intégrale deviendra alors

nfarcsinz, /î= l — r— ^-r ■>

et sous cette forme on voit que la fonction sous le signe i a trois

couples de points critiques, savoir les points db i, d=-i qui lui

sont communs avec les fonctions correspondantes aux intégrales de première et de seconde espèce, et qui, tous les quatre, sont à la fois des infînis et des points de ramification de cette fonction, et

les deux points ± i / 5 qui sont simplement des infinis.

En considérant les intégrales prises le long des contours élémentaires qui entourent ces six points, on trouvera d'abord, pour les quatre premiers, des résultats semblables à ceux que nous avons rencontrés dans l'étude des intégrales de première espèce, ce qui donnera, pour l'intégrale, deux périodes, correspondant l'une aux

contours (±1), Tàulre aux contours (db-j* Les deux autres points critiques ^ 1/ jouiront des mêmes propriétés que

ceux de l'intégrale l ^[1257].

Nous engageons le lecteur à reprendre sur l'intégrale H tous les calculs que nous avons développés dans le Chapitre précédent, en traitant des intégrales

/fh r dz r dz

On voit ainsi que l'intégrale H a trois périodes. On pourrait, d'après cela, être entraîné par l'analogie à en conclure l'existence d'une fonction triplement périodique, inverse de celte intégrale. Mais Jacobi a fait voir ( * ) qu'on ne peut introduire dans l'Analyse

(•) Dff Junetionibus duartim variabilium quadrupUciur periodicis {^Journal de Crelle, t. Xïlï).

(les fonctions périodiques d'une seule variable à plus de deux périodes, et nous renverrons, pour ces recherches, au Mémoire de Jacobi et à celui de Rosenhain (').

1384. Les propriétés de Tintégrale II dépendent principalement de la situation relative des trois couples de points critiques dii,

-r» dr i/ • Nous avons déjà vu que l'on peut toujours ramener l'intégrale au cas où la constante h est réelle et numériquement moindre que l'unité. Nous verrons bientôt aussi [1392] que le cas de n complexe' peut toujours se réduire à celui de n réel.

Cela posé, en ne considérant qu'un seul point de chaque couple, on verra que, suivant que l'on se trouvera dans l'un ou l'autre de quatre cas,

représentés par la fig. 109, le point critique occupera, par

Fig. 109.

rapport aux deux autres, les positions correspondantes indiquées par la^i^. iio.

Quand le point coïncide avec un des deux autres, nous

(*) Sur les fonctions de deux variables et à quatre périodes {Mémoires de l'Institut de France, SaiHuits étrangers, t. XI, p. 876; i85i).

avons vu [1306] que Tintégrale II se ramène aux intégrales des

Fig. 110.

if

'.Jl

deux premières espèces, en vertu des formules

#/* r ^'" rt I , sn//dn« A * r - — — r= A * « — elm

J en* u cn/i

,. r riii , , sn// cn«

J dii'tf un a

Pour 71 = o, n = li.

Pour 71 = 00 , 7/11 a pour limite [1306, 2**]

fin , cn//dnii = 1/ — e\u

sn' u sn ft

1385. Si 71 parcourt l'axe des x, de — ao à -♦- 00 , alors, dans le passage de Tune àTautre des régions indiquées par les n*** (i), (a), (3), (4) sur Isifg. 109, le produit

que l'on pourrait appeler le nombre caractéristit/ue de l'intégrale II, changera chaque fois de signe. Nous verrons que du signe de N dépendent les propriétés fondamentales de l'intégrale.

D'après cela, nous diviserons les intégrales elliptiques de troisième espèce et de paramètre réel en deux classes : la première, correspondante aux valeurs négatives de N, et par suite aux cas où le paramètre n satisfait à l'un des deux systèmes d'inégalités

sera dite la classe des intégrales à paramètre logarithmique; la

seconde, pour laquelle on a N ^ o et l'un des systèmes d^inégalités (2) - i<«<-/*,

sera dite la classe des intégrales à paramètre circulaire, Nous donnerons bientôt la raison de ces dénominations [1390].

Si Ton désigne par a un argument réel, que Ton pourra toujours supposer compris entre — aK et -f- 2K ou entre — aK' et 4- 2K', les nombres compris respectivement dans les quatre intervalles (i), (a), (3), (4) de l^Jig- 109 pourront être représentés par les expressions

— dn'*a, — X*sn-fl, /'*tn*a.

suc* a

Donc la première classe comprendra les intégrales des deux formes

r/rt

k* sn*^/sn*£i