XI -+- n su* u n

X« CÏX^Ufïti u ( l\ i- — -H i-h-)ri, H- « sn* i« 71 \ nj

Jo 1 + « su* « n \ n J

dont chacune se partage en deux classes de la même manière que n.

1387. Les périodes des intégrales de troisième espèce qui répondent aux points critiques dr i, ±: y sont, comme pour les intégrales de première et de seconde espèce, des multiples des intégrales complètes

r^ ihi . Ç ^ rfti

Les périodes relatives aux points zh — == auront pour valeur, au signe près, la valeur, pour z = ? de l'expression

2 iti hm ( z I - = = -r=J

V v/-/iy(i-h/i5«)v/(i — 2*)(i-X*2«) v^N

N désignant le même produit qu'au n» 1385. Cette période est donc imaginaire pour les intégrales de la première classe, réelle pour celles de la seconde.

1388. Si l'on change u en ik, on a

/*" d[iu) . r " rhf ___ . /*" cn^«7/////

J^ I H- /i 811^ /« ~" Jo i — n tn'*a ~" J^ i — {/i-h i)sn'*a

i r r " ffu 1

c'est-à-dire

n(am/tt, /î, X) = 1 rifam «, — n — i, * ).

L'intégrale se change donc en une autre, de module complémentaire et de paramètre — n — i .

Le nombre caractéristique de la nouvelle intégrale, de module / ^

étant égal à

cette intégrale n^appartiendra pas à la même classe que la première n(amay /i, k),

1389. Théorème d'addition pour les intégrales elliptiques de troisième espèce. — Soient n(cp, /i), n(jf, tï) deux intégrales de même module et de même paramètre, et posons

d'où

dl] = . . . . -h

( I -h « sln* y ) A^ ( I -4- /i sin*/ ) A;^

Si la somme des intégrales de première espèce d'amplitudes (p, ;( doit être constante, on a alors

d'où, en éliminant dyi^y

dV =