OBJET DU CALCUL DES VABIATI0I9S

966. Supposons, par exemple, que le polygone EF soit le polygone CD lui-même et que la question soit cellerci :

On demande, parmi tous les polygones de périmètre donné passant par deux points fixes C, D et ayant leurs sommets sur des ordonnées fixes, quel est celui qui donne une aire ABCD maximum.

Si Ton désigne par Xq^ x^, , ,,,x,i les abscisses fixes des sommets, par ro> J)/i les ordonnées constantes des extrémités C, D et parj I, . . ., ^/i.i les ordonnées variables intermédiaires, l'expression de Taire a, qui devra être maximum, sera

.r*! .T^fl , Xm — X| , .

«= — :; — (joH-ri)-+- ' (j»+ji) + --»

— I — ^0 H :; — Xx -I ;; jr%

H J n-l H Xii

L'équation de condition qui exprime que le périmètre du polygone est de longueur donnée / est

,. \ >/{-ri — ^o)' -+- (ri - Jo)* -4- )/{^t — ^i)' -+- [Xi — J, )* -h . . .

D'après la règle établie [409] pour trouver le maximum ou le minimum d'une fonction f lorsque les variables indépendantes sont assujetties à la condition ^ = o, on cherchera le maximum absolu de/ -h ?. 9, X étant une constante que l'on détermine parla condition que les valeurs trouvées pour les variables satisfassent à l'équation ç = o. Nous avons donc ici à chercher le maximum absolu de

—^ J^o4-— ^— J,-h...+ Xn-X-^ - Jn

en posant, pour abréger,

n = V^t-^A- — '^A-l)* -+- [Xk — ^A-l )*•

Or la variation de la quantité (3) est, en remarquant que Xoy X| , . . •fXn-j'^yj'ni ^ sont des constantes,

11 faut maintenant ordonner cette expression par rapport àd/i, ^2> •••> ^/tï et, pour cela, écrire les termes de la seconde ligne sous la forme

OÙ Ton a introduit, au lieu des différences des variations de deux ordonnées consécutives, ces variations elles-mêmes multipliées par les différences de leurs coeHicients, transformation qui, dans le cas où les différences sont infiniment petites, correspond à l'intégration par parties [970],

En égalant maintenant à zéro le coedicient de chaque variation, on a les 7z — i équations

/ ^ •''î — •'•o ^ . />!— .>o r? — ri \

.1 ^ '^/i '^n— î , \IXn-\ — Xn-t Xn — .^ «— I \ \ O '=. -t- A l — 1 >

\ '>' \ ni-i />» /

qui détermineront j,,j'2> •••0«-* ^° fonction de X. En substituant ces valeurs dans Féquation (2), on en tirera la valeur de X, et, par suite, un connaîtra^) i,j)'2) •••O"-**

967. Supposons maintenant tous les intervalles j^i — x© » x^ — x%y ...,^Vi — Xn^x infiniment petits et égaux kdx. En écrivant alors dsk^^ au lieu de />, les équations (4 ) se changeront dans