OBJET DU CALCUL DES VARIATIONS

les suivantes :

Cette suite d^équa tiens , toutes de forme identique, exprime que, pour tous les points de la courbe limite du polygone, on a la relation

dx — "kd -r- = o • ds

qui n'est autre chose que l'équation différentielle de cette courbe. L'intégrale de cette équation, qui est du second ordre , renfermera deux constantes arbitraires, que l'on déterminera par la double condition que la courbe passe par les deux points donnés. On cherchera ensuite la longueur de l'arc de courbe en fonction de X et on l'égalera à /, ce qui achèvera de déterminer la courbe, laquelle est un cercle [972]. Ainsi le cercle est, parmi toutes les courbes isopérimètres menées entre deux points donnés, celle qui comprend une aire maximum.

968. On voit par cet exemple que, si Ton passe du polygone infinitésimal à la courbe qui en est la limite, le nombre des variables indépendantes devient infini. Les équations de même forme , obtenues en égalant à zéro le coefBcient de la première puissance de chaque variation, se changeront eu une relation devant avoir lieu pour une infinité de points, c'est-à-dire à une équation entre deux variables continues et leurs différentielles. Pour obtenir cette relation, il faut calculer l'expression de du en fonction de l'abscisse, dejrel de ses dérivées, et des variations dej*et de ses dérivées, ces dernières variations étant encore des fonctions des mêmes variables ; puis on écrira que la quantité $u, réduite à sa partie principale, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, s'évanouit pour toutes les valeurs dex comprises entre les limites, en tenant compte de la partie de iu qui peut provenir de la variation des limites elles-mêmes, lesquelles, dans le polygone, auraient pu faire aussi partie des variables indépendantes.

Pour montrer comment la considération du polygone peut conduire à une expression telle que / y(j:r, j^,j^', . . .) rfx, remar-

quons que la somme (3), qui doit élre un maximum, devient, pour des divisions infiniment petites de l'intervalle Xu — Xq et dans l'hypothèse où j* devient une fonction continue de x,

ou, en négligeant -j-o^-^o et- ^;irf:r« 4,

r \ydx^\yliLo^-^cij^].

Il s'agit maintenant de calculer la variation d'une telle intégrale définie.

969. Nous avons déjà déterminé la partie de du en dehors du signe fy

Pour calculer l'autre partie / SYdx, désignons, pour abré-

gcr, par P, Q, R, . . . les dérivées partielles de V par rapport à J y J y J t ' " y

on aura ainsi

ôf ^^Oy" ""()/" '

Or, si j 4 =j -h Sj est l'ordonnée de la courbe G'M'D', infiniment voisine de CMD, on aura

et, en général,

ce que l'on peut écrire sous la forme

dx étant une constante par rapport à la caractéristique ^. Ainsi les

VARIATION d'une INTEGRALE DÉFINIE. 49

opérations indiquées par les caractéristiques d et d sont commutatives entre elles.