Cela posé, on a
Les quantités [iy, ?>", . . . qui entrent dans cette expression sont des fonctions des variations indépendantes, c^est-à-dire des âj. Ainsi, en appelant j, ri > J) 2» ... les ordonnées correspondantes aux abscisses x, a: + dx, x + arfx, . . . , lesquelles ordonnées sont les variables indépendantes du problème, dj \$j^^,. .. seront les limites (les rapports
dx tijc*
Nous allons faire disparaître de dessous le signe y* ces variations non indépendantes ^^^, 5j^\ ..., pour n'y laisser que les variations indépendantes c^^, et pour cela nous emploierons l'intégration par parties.
On a, en effet,
/ R^/'r/or— / RdSy=[K9y]l— f ^ Sf dx
et ainsi de suite. Si donc on pose
-h (r - ^ -«-. . .) sy-h (S -. . .) ôfj"-i-. . .1
rfQ rf'R rf'S
H. — Court de Calcul in fin., III.
5o LIVRE IV. — CHAP. VI, § I.
on aura
Telles sont les formules que nous emploierons lorsque les limites a:© et Xx seront fixes, et alors le terme [VJx]J disparaîtra de lui-même.
971 . Mais lorsque les limites x^^ x^ de Tintégrale sont supposées variables, il faut faire subir une transformation à la valeur de H. La quantité que nous avons désignée par ij et les quantités 6y, ij^',..., qui en sont les dérivées, sont obtenues en passant d'un point M de la courbe CD au point M' de la courbe CD', situé sur la même ordonnée. Or, si Ton veut calculer les variations des coordonnées des extrémités C et D de la courbe {Jig. 8g) et celles des dérivées de ces coordonnées d*après les conditions auxquelles
Fîg. 89
Ct
ces extrémités sont assujetties, il faudra faire varier à la fois les x et lesj^ de ces extrémités. Par exemple, si l'extrémité G est assujettie à rester sur une courbe donnée CC, son ordonnée j^ ne pourra pas varier sans l'abscisse Xqj de sorte que, en diflférentiant l'équation de la courbe CCI par rapport k x^y on devra faire subir à j^oy/o? j'o'* " ^^^ variations que nous désignerons, pour un instant, par AjTq^ I^Jqj ^j'o' ' ** *
Le Aj^o ainsi défini peut s'obtenir en faisant varier d'abord l'ordonnée y^o de la quantité CCi = dj^^ relative à la même abscisse, puis en y ajoutant la différence entre les ordonnées ACi et A!C!y ou, ce qui revient au même (aux quantités du second ordre près), la différence entre les ordonnées AC et A'C", prises sur la même courbe et correspondantes à des abscisses qui diffèrent entre elles de A.r©. Cette différence a ainsi pour valeur
VARIATION d'une INTÉGRALE DÉFINIE. 5f
j\àx9j de sorte qu'on a
On devra donc remplacer le djo qui entre dans Texpresslon de H et qui, étant ce que devient pour x = Xo le ây qui est sous le signe J*, correspond par suite à une abscisse Xq invariable, on devra, dis-je, le remplacer par son expression au moyen des variations simultanées de l'ordonnée et de l'abscisse,
^/o= Ajo— /o^-^o,
j\ étant ce que devient lej^' de la courbe CD pour x -= Xor et ÙXt^ Aj^o ayant entre eux un rapport déterminé par la conditiqn initiale à laquelle est assujetti le point C, par exemple, par l'équation de la courbe CC.
Le raisonnement que nous venons de faire pour la variation de la valeur initiale de la fonction y s'applique de la même manière aux variations des valeurs initiales des dérivées j^'^j^^ . . . , de sorte que Ton aura
On aurait des formules toutes semblables pour les variations ^/« ♦ ^Ji J ^1 ' • • • correspondantes à l'autre limite Xi de l'intégrale.
Donc, pour avoir la valeur de H exprimée au moyen des variations des quantités aux limites, telles qu'elles sont données par les équations de condition relatives à ces limites, il faut, dans l'expression de H, remplacer
respectivement par
de sorte que, en remettant de nouveau d au lieu de Zk, et ayant soin de se rappeler la différence de signification entre les i sous le signe f et les d hors du signe fj on aura pour H cette nouvelle expression , que l'on devra employer dans le cas des limites variables.
Sa LIVRB IV. — CIIAP. VI, § I.
les quantités j',j'', ... et tout ce qui en dépend étant donnés par Téquation de la courbe CD, et les variations S étant les accroissements subis par ces quantités, lorsque les extrémités C et D se déplacent conformément aux conditions auxquelles elles sont assujetties. Ainsi, si les quantités relatives à la limite Xq sont assujetties à la condition
on devra prendre pour 5xo, âjoy Sj'^, Sj"^, ... des accroissements satisfaisant à la relation
Ou:o ÔXq <>/o
Quant aux dérivées dej^o> d'ordres supérieurs à celles qui entrent dans F, elles ne seront assujetties à aucune condition , et leurs variations devront être considérées comme indépendantes.
972. Si, outre la fonction inconnue j* et ses dérivées, l'expression V renfermait une autre fonction inconnue z avec ses dérivées,
alors, pour avoir o i Ydxy il faudrait, en désignant par p, ij, . . .
les dérivées partielles de V par rapport k z, 2', . . . , ajouter à la ■valeur de H les termes
H- H— — -h . . . j«Jz -4- (r — . . .)rV-h . . . et augmenter le terme G ^ sous le signe f de la quantité analogue
On agirait de même s'il y avait un plus grand nombre de fonctions inconnues.
DÉTBRlli;iATION DES FONCTIONS INCONNUES. 53
§ II
FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES POUR LA DÉTERMINATION DES FONCTIONS INCONNUES
973. Considérons d'abord le cas d'une seule fonction inconnue. La variation de l'intégrale définie
Il] " ^^ I ^^'^
a pour partie infiniment petite du premier ordre
;2) âu=zH-^ I e^fdx.
Pour que u soit maximum ou minimum , il faut que la variation complète et rigoureuse de m à partir de la valeur cherchée dej^ en fonction de x ait un signe constant, quels que soient les signes des variations indépendantes desquelles dépend la variation de u. Or le signe de la variation de u dépend de celui de sa partie principale iuj tant que celle-ci n'est pas nulle. Mais iu se compose de deux parties , dont la première H change de signe lorsqu'on change en même temps les signes de toutes les variations qui sont indépendantes parmi les variations da'o, Sy^, d^ g, . . . / dx^ , . . . . La partie f&djdx change de signe lorsqu'on change, pour toute valeur de x, le signe de la fonction arbitraire iy. Donc du peut changer de aigne, s'il n'est pas nul. Donc, pour que la variation complète de u ne change pas de signe, il faut que $u soit nul, quelles que soient les variations des variables indépendantes.
Or Su se compose de deux parties, qui dépendent de deux systèmes de variations indépendants entre eux, et dont chacun pourrait tour à tour prendre une valeur numérique prépondérante et donner son signe à l'ensemble s'ils n'étaient pas nuls séparément. Il faut donc que, séparément, on ait
et, comme l'intégrale ne saurait être nulle, quel que fût Sy, si l'on
n^avaît pas 6 = o, on trouvera donc enfin qu'il faut satisfaire aux
deux conditions
On verra de même, dans le cas de deux fonctions inconnues ^ et ^ [9*^2], que Ton doit avoir en général
PI = o, e = o, S- z= G, et ainsi de suite.
974. Ordre de l'équation différentielle, — Dans le cas d'une seule fonction inconnue, soit^^"^ la plus haute dérivée contenue
dans V, et - — -^^ = T. L'équation 0 = o contiendra [970] laquan-
tité ^-77» et, si T renferme j^f"^ 0 contiendra, par suite, j^f^»)^
Donc l'équation 0 = o sera généralement de l'ordre un. Elle serait d'un ordre inférieur si T ne contenait pas^f"\ c'est-à-dire sij^(/i) n'entrait que linéairement dans V.
Dans le cas de deux fonctions inconnues j^, z, si les plus hautes dérivées contenues dans V sontj^^"^ et z^'*^\ on aura deux équations simultanées dont les ordres seront, pour l'une, a/i par rapport kjj n -h- m par rapport à z ; pour l'autre, n -h m par rapport àj^, 2m par rapport à z» L'ordre du système sera donc, en général, égal à 2/1 -+- am.
975, Abaissement de l'ordre de l'équation différentielle, — Considérons le cas d'une seule fonction inconnue. L'équation diflerentielle sera
On peut abaisser son ordre dans les cas suivants : I® V ne contient pas y, et l'on a P = o. Alors il vient, en intégrant une première fois.
Si V ne contient vkij ni j', alors P = Q = o, d'où, en intégrant
ABaTsSEIIENT de L*ËQt'ATION DIFFÉRENTIELLE. 55
deux foîsy
et ainsi de suite.
a° V ne contient pas x. On pourrait, dans ce cas, prendre y pour variable indépendante, ce qui ramènerait au cas précédent; mais î\ est plus simple de procéder comme il suit. On a alors
Or, d'après réquation(3),
dx dx^
donc
On a, d'ailleurs,
et ainsi de suite. Donc
équation de l'ordre in — i seulement, dont le second membre a une forme analogue à celle de H.
3* V ne «^.ontient ni x ni r. Alors —- = o, P = o, et l'on a
^ Ox
Cette dernière équation donne
et, en substituant cette valeur dans Téquation (4), celle-ci devient
(5) V=C-+-C'y4-(R-^-h...yr"-h(S-...)r*'+...,
équation d'un ordre moins élevé d'une unité que (4).
De même, si V ne contient aucune des quantités a:, r> j'y alors
-7- = P = Q = o, et l'on a
ôx ^ '
€iX
Mettant ces valeurs dans l'équation (4), elle devient
V= C — C'/-i- [Cx 4- C'')^'' -h (S — . . .]y'"^ . . . ,
équation de l'ordre in — 3. Et ainsi de suite.
On voit donc que, si dans un problème de Géométrie plane on arrive à une équation différentielle du second ordre, et que V ne contienne ni x ni y, on pourra abaisser immédiatement l'ordre de l'équation de deux unités, ce qui revient à trouver deux intégrales premières, entre lesquelles il ne restera plus qu'à éliminer j'. Si donc V ne contient que y^ on arrivera immédiatement à une équation finie.
On opérera d'une manière analogue dans le cas de deux fonctions inconnues.
976. Détermination des constantes arbitraires, — Dans le cas d'une seule fonction inconnue, l'intégration de l'équation 0 = o amène, en général, an constantes arbitraires. Pour les déterminer, on se servira de l'équation H =: o, et nous allons voir comment, dans chaque cas particulier, cette équation fournira autant de relations qu'il en faut joindre aux conditions aux limites pour déterminer ces ^n constantes.
i^ Les quantités aux limites ne sont assujetties à aucune condi-
