DÉTERMINATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES

tion. Pour chaque limite, on aura une relation de la forme

ou entrent Sx, $yy dy, . . . , J^f^-O. En égalant à zéro les n-h i coefBcients Â, B, . . . , relatifs à chaque limite, on obtiendra a /z + 2 équations, qui, jointes à Téquation intégrale de 0 = o prise aux* deux limites, donneront en tout an -h 4 relations pour déterminer les ara constantes arbitraires et les quatre quantités Xo,j^o> •^ojTf- S'il y a deux fonctions inconnues , Féquation H = o fournira 2 (/i -f- w + 1 ) relations ; les intégrales des équations 0 = o, S- = o en fourniront quatre, ce qui fait en tout 2(71-1- m) + 6 relations pour déterminer les 2(72 H- m) constantes arbitraires et les six

quantités j:o,j^o y ^0? ^tyjiy ^t- Et ainsi de suite.

a^ La courbe obtenue aboutit à des points fixes. Alors $Xoj $joi 0X|, ^1 étant nuls, on a quatre équations de moins , qui seront remplacées par la connaissance des quatre quantités ^oi J07 •>e:i O'* '

De même dans le cas de deux fonctions inconnues.

3^ La courbe est assujettie à certaines conditions aux extrémités. Par exemple, on donne la direction de la tangente au point (xo, J'o)» Alors, iy^ étant nul, on a une condition de moins ; mais

dr elle est remplacée par la connaissance de la valeur de — pour

Si Ton demande que les tangentes aux deux extrémités fassent entre elles un angle donné, un angle droit par exemple, on aura

ï'oï'x = — ïi d'où h\ = —

On aura un coefficient de S de moins à égaler à zéro; mais Téquation qui en serait résultée est remplacée par l'équation y^y^ = — I, oùy^ ^^j'i sont tirés de l'équation intégrale, dans laquelle on fait, après la différentiation, o? = Xo, puis x = Xi . 4® Si le point (xo> J^o) doit se trouver sur une courbe donnée

on aura alors

d'où l^on tire c^o en fonction de d^Xo* On a alors une équation de moins, qui est remplacée par celle de la courbe.

3^ Dans le cas de deuK fonctions Inconnues, supposons la courbe cherchée assujettie à rester sur une surface donnée

Alors, on aura à la fois

d'où Ton tire l'équation unique

dont Tordre sera le plus grand des deux nombres an, 2m, et que Ton ramènera, au moyen de l'équation F = o, à être une équation entre deux variables or et ^ ou x et z.

On agira de même pour les autres cas qui pourront se présenter.

977. Maxima et minima relatifs, ou problème des isopérimètres, — Ces sortes de questions tirent leur nom de la première d'entre elles qui ait été résolue, et que nous avons déjà indiquée dans les n^- 966 et 967.

On sait [408] que, pour obtenir le maximum ou le minimum d'une fonction u =J'[x,j-y ir, . . .) de plusieurs variables, lorsque celles-ci sont assujetties aux conditions exprimées par les équations

on devra chercher le maximum ou le minimum absolu de la fonction

où l'on considérera toutes les variables a:, j, :?, . . . comme indépendantes, A, fx, ... étant des facteurs constants indéterminés. Les valeurs que Ton obtiendra pour x, j) , 2, • . • seront des fonctions de X, fji, .... En substituant ces valeurs dans les équations de condition ç = o, j^ = o, . . . , celles-ci donneront les valeurs de ?., u, • • • .

Cette règle, étant applicable quel que soit le nombre des variables indépendantes, le sera encore à la limite, quand ce nombre

UÀXIMA ET IIINIMA RELATIFS. 69

sera infini, comme cela a lieu dans les questions qui dépendent du Calcul des variations.

Soit proposé, en effet, de trouver la valeur dej- qui rend maximum ou minimum Fintégrale

cette fonction j- étant assujettie à la condition qu'une autre inté- ^ale définie

(Vêtant, ainsi que U, une fonction donnée de oc^j^y'^y", ...) prenne une valeur déterminée a. Soit X une constante indéterminée, et cherchons le maximum ou le minimum absolu de l'expression

OU, ce qui revient au même, Xa étant constant, celui de

F^ fonction j' que Ton trouvera rendra la quantité tv maximum ou minimum parmi toutes les valeurs qui correspondent à une valeur donnée de ), quelle qu'elle soit. Si maintenant, à l'aide de la valeur trouvée pour y, on calcule l'intégrale j^, cette intégrale sera une fonction de X. En déterminant X de manière que {^ prenne la valeur a, y sera alors la fonction qui rend maximum ou minimum la quantité ii + X(f/ — a) parmi toutes celles qui répondent à la valeur de X qui rend w = a. Ce sera donc la fonction cherchée.

On opérerait de même si, au lieu d'une seule condition (/ = a, on en avait plusieurs :