On peut encore démontrer cette règle comme il suit
L'intégrale u devant être maximum ou minimum et l'intégrale (^ constante, les variations de ces deux intégrales seront nulles, de sorte que Ton aura à la fois
êtt =0, ^c = O.
6o LIVRE IV. •— CHAP. VI, § II.
En transformant maintenant ces deux variations au moyen de l'intégration par parties [970], on aura les deux conditions
' e$y(lx = o, H H- / K^ydx z=z o. Si Ton pose maintenant
la fonction ^{x) sera telle, que Ton aura à la fois
(2) •^(.ro)=ro,
puisque Xo est la limite inférieure de l'intégrale (i), et
à cause de dv^ = o.
L'équation (i) donne, en différentiant,
A(î>- = .y(.r), d'où $y='^.
Cl, par suite, Téquation Ja = o devient
ou, en intégrant par parties, et ayant égard aux équations (2)
et (3),
Dans cette équation, ^{x) est tout à fait arbitraire entre les limites, comme iy Tétait dans les questions de maximum ou de minimum absolu. Nous en conclurons donc, de la même manière,
La seconde de ces équations donne
MAXIMA BT IIIMMA BBLATIF8. 6l
il étant une constante arbitraire, et, par suite, on a aussi
Les équations précédentes pourront donc se mettre sous la forme
G4->n = o, e4-XA = o,
c^est-à-dire que Ton obtient les mêmes équations que si Ton cherchait le maximum ou le minimum absolu de l'intégrale
tf -4->P=: i \U 'h'k\)dx.
§ in.
EXEMPLES d'application DU CALCUL DES VARTATIONS.
979. I. Trouver la ligne de longueur minimum entre deux de ses points.
L'intégrale qu^il s'agit de rendre minimum est
La quantité sous le signe y* ne contenant ni x, ni j-, ni Zj les équations
donnent
ou, à cause des valeurs Q = ? q = >
(2) ^ = C,.r + Cj, s=C,.r + C„
équations d'une ligne droite.
6a LIVBE IV. — GIIAP. VI, § III.
L^équation H = o devient
[(V- Qy- qz')^x + q^x H- q^^Vo = o.
On aurait pu arriver directement aux équations (i), en calculant immédiatement la variation
Or
et de même pour l'autre terme. Donc on aura
puis, en remplaçant, dans la partie intégrée, Jj^, Jzpar oj^ — y'oxy
ou y en réduisant,
(3) [$X'hy^X'hz'^z]l = o.
980. Si les extrémités sont fixes, leur connaissance détermine les quatre constantes C|, C, , C2, C'^.
Si Tune des extrémités est assujettie à rester sur la courbe représentée par les équations
(4) ?(j^o»Jo, «o) = o, x(-^oiro»-o) ==0» alors on a
(5) ^ ^Vp -h -?- (? Ko -+- -7^(^X0 = 0, 'T^o.r^-h T^^»oH- -t^(?3o=0. OXq OJo ôzq ô.t'o âj'o àZf^
L'équation (3) se réduit à
( 6 ) ^.ro -f- y^^fa -h z^^z^ = 0, ou dj-^ ^.r^ ■+- dy^ êfo 4- ^«q iz^ = o,
