LIGNE DE LONGUEUR MINIMUM

équation qui exprime que la droite (2) est normale à la courbe (4). En y joignant les équations (a) et leurs difierentielles pour j:=: j^O)

on aura le nombre d'équations nécessaire pour déterminer les quatre constantes Ci, CT,, Cj, Cj. En effet, les dernières équations donnent, avec Téquation (6),

<Jxo -4- C, âj'o 4- C, âzo = o, équation qui, jointe aux équations (5), conduit à la suivante :

àf

dx^

àxt

dzQ

àx

dxo

àja

dz^

Cette équation y jointe aux équations (4) et aux équations

jr^ = Cl Xo -4- C, , Zf^z= CfX^ -f- Cj ,

J^i — Ci^i -f- Cj,

3| — CijXi — f- Ct«ç

0ÙX1, j^o ^1 sont donnés, formera un système de sept équations, d'où Ton tirera les sept constantes inconnues J^o^J^oy ^oy C^ C'^, Cl, G^.

On traiterait de la même manière le cas oùTextrémité (xi , ji , ^1) serait assujettie à rester sur une autre courbe donnée.

On procéderait semblablement si Tune des extrémités ou toutes les deux étaient assujetties à rester sur une ou deux surfaces données*

981, Trouver la ligne la plus courte sur une surface donnée {ligne géodésiijue), — Soit

Téquation de cette surface. On en tire

àf ^ d/^

avec Féquation

fJr.d -hâz — ■- =o,

^ ,dr ^ dz

ds ds

Par conséquent, à cause des équations

dx ^ dy^ dz '

dx dx ày dy ds ^ ds ds^ ds

ds ds *! V\^^ )

[th

on en conclura

dz dy dy dz dz ds ds ** ds fis ds

dx ''ds

0/ dy

àf àf ôy ^â/ôz dz dy ds ' dz ds

- d/' dx

équations qui expriment que le plan osculateur de la ligne cherchée est, en chaque point de cette ligne, normal à la surface donnée [697].

Soit, par exemple, la surface

y^ -h 5* r= rt*.

A cause de -r- = o, on aura ici

dx iix

a-— =o, dou -j-zrzC;

ds ds I

la tangente à la courbe fait un angle constant avec Taxe des x. Ensuite on trouve

d'où

a^dr* I — C* , - ^,. . . ^ — = dr^ = C *f/x'.

équations d'une hélice [722].