LIGNES GÉODÉSIQUES

Si les extrémités sont données, on déterminera les constantes de manière que la courbe passe par ces extrémités.

982. Cherchons Féquation de la ligne géodésique dans un sys^ tème de coordonnées curvilignes quelconques u, (/. Il faut déterminer [71^] le minimum de l'intégrale

s =ijyl^du} 4- lYdudv -4- G^«'',

prise entre deux limites constantes. On a, par les règles du calcul des variations, en prenant \^ pour variable indépendante et faisant «?«• = o,

•J.<=: / -V \ T^du^ -^ 7. -^ dudv -Jr ^-idsA^u '\' li{l£.du -^Y dv]dSu J ads \^\ôu du ou j ^ ' J

= ^u -h / -— - (-^ du^ + 'x — dudu ^.— du*)

[ ds Jo J ^"^ \^" ^tt ou J

/' ,F,du-^Ydv du . d z • ds

En ayant égard à la valeur de cosO trouvée au n^ 719, et égalant à zéro le multiplicateur de iu sous le signe d'intégration, il vient

-v-^«*-ha-T- dud»-\- -^-dv*= 2ds.di\/E.cosQ), Ou ou ou \¥ /

ou, à cause de ^. sin9.^5 = dif^EG — F*-*,

Edu + Ydv ,^ /-— , ,^

f,du-^Fdt» /dE , ÔE ,\ ,— z:: ^ ^^

\Ôu Ov ) ^

EL au \ ov Ou) ^^^ J

En supprimant de part et d'autre le terme -r- du^ et divisant par dvy on obtient l'équation différentielle des lignes géodésiqucs

(i] :iv^ÊG — FVé/0=î:£/E4-^£/a- ^ £E rfii — ^ rfr.

' ^ E ov du ou

H. — Cours de CiUe, in fin» ^ III. ^

66 LIVRE IV. — ciiAp. VI, 5 m.

On pourrait éliminer dO au moyen de la relation

Y, du F

cotô =

\/EG — F* ^*' v^EG — F*

qui se tire des formules du n^ 719; mais il est plus commode de conserver la forme (i).

L'équation aux lignes géodésiques devient, dans le cas de

' ov au

et les autres formules se réduisent à

/- f— /Ë ffu

elscosQ = ^/E,du, dssinO = ^G,dv, cotô = !/--• — •