La condition w = - étant vérifiée lorsque les lignes
(> = const. sont les lignes de plus courte distance entre les lignes u = const. [960], il s'ensuit de là que Téquation (a) doit alors être vérifiée pour d{^= o, auquel cas sin 0= o, dfl = o, et l'équation (2) se réduit à
Donc E est une constante ou une fonction de u seulement. Puisque cos 0 = i, on a ^5 = duS = \/E.rfi/, ce qui devait être, cette expression étant ce que devient la valeur générale de ds pour du = o.
On peut maintenant supposer que u exprime la longueur de l'arc d'une ligne du système i^ = const., compté à partir d'une ligne fixe qui la traverse. Alors duS=duy d'oùy'E = i, E=i. Ainsi, du sera l'élément d'une ligne de plus courte distance dont la position est déterminée par la variable t^.
Si l'on imagine que toutes les lignes géodésiques v = const. partent d'un même point o, on pourra prendre pour v Tangle que fait une quelconque de ces lignes avec une d'entre elles, considérée comme fixe, et que l'on représentera par i> = o. Les lignes u = const. seront alors les cercles géodésiques, trajectoires orthogonales des lignes i^ = const., de sorte que u et u seront ce que nous avons désigné au n° 698 par 5 et y.
LIGNES GEODES IQUES.
984. Dans le cas où, les lignes (^ = const. étant des lignes géodésiques quelconques, les lignes u = const. sont leurs trajectoires orthogonales y du Télément de la ligne (^ = const., et E = i, l'équation (2) du n^ 720 devient
L'équation aux lignes géodésiques (2) du n^ 982 se réduit à
2JG.dO -h -r- dv=0,
ou
Si Ton pose , pour abréger, y/G = m, alors ces deux équations prennent la forme plus simple
m du*
, dQ=z
dm ,
r— dv.
Ou
Dans le cas où, les lignes v = const. partant d*un même point, les lignes m = const. sont des cercles géodésiques, Pélément de cercle géodésique sera
d^^s z= ^(j .e/if =. mdw
Pour u infiniment petit, le cercle sera un cercle plan de rajon u. On a donc alors d^^s = iidv^. Donc
,. m ,. dm
Iim - = Iim -r— = I.
« = 0 W iirrO Ou
985. Considérons actuellement un triangle formé par des lignes géodésiques. Menons la ligne fixe AB (t^ = o) et la ligne AG
Fig. 90.
(i' = A), et soit BC {fig' 90) la troisième ligne géodésique qui achève le triangle. Soient B := t: — 5o> C = 6| les deux autres
angles du triangle. Calculons la courbure absolue de ce triangle. La mesure A^ de la courbure en un point étant exprimée [710]
par A = — -> on en conclut d'L = kdS, et, par conséquent, la
courbure absolue a pour valeur
1 =fkdS.
On a d'ailleurs [984 et 982]
A- = r-r-> dS =zmaudv,
m ou}
c étant une constante arbitraire. Or, la quantité sous le signe f, dans la dernière intégrale, est la courbure absolue de la portion de surface comprise entre les lignes t^ = i^eti^=v-|- dv. Mais, pour u = o, la courbure absolue s'évanouit; donc , pour u = o,
Or, pour u=:o, -p a pour limite l'unité [984]. Donc c = — i, et par suite [984]
Pour étendre cette expression à tout le triangle, il faut faire varier ç' de o à A, et 6 de do à 0| . Donc
Donc la courbure absolue du triangle ABC est égale à l'aire du triangle sphérique tracé sur une sphère de rayon = i et ayant ses angles égaux à ceux du triangle géodésique.
On étend facilement ce théorème aux polygones formés par des lignes géodésiques.
986. Exemples. — i° Pour l'hélicoïde gauche, représenté par les équations
x = rtcosp,i/, y =1 aûiiv.u, z=zùv^
