LIGNES GÉ0DÉ8IQUES

les lignes w = const. étant des lignes droites et par suite des lignes géodésiques, on a, en échangeant entre elles les variables a et 9 dans les formules du n® 734,

E = a', F = o, Gr^tt'a'+Z^S

d'où, en substituant dans Téquation (2) du n^720, qui devient, pour £ constant,

comme nous Tavions déjà trouvé. Ensuite

ds cosô = ada^ ds sîn ô = \la*u* 4- ^' . dç^

d'où

. ^ ,^ .du .^ /TT ^"f

— smBdQz=ad'-=z — rfôi/G-r;

€is ds

substituant cette valeur de dO ^G dans Téquation (2) [982], elle

donne

du dsd-r-=z udv^.

ds

En développant et mettant pour ds^ sa valeur a^du^ 'hGd\^^. , d'où dsd^s = a^du{d^u -f- dv^)y il vient

Cette équation, ne contenant pas explicitement la variable indépendante Vy est susceptible d'abaissement [872]. Si l'on pose

du^ ., .

—— = Wy li Vient

rf*M I dw dv^ 2 du

et Téquation prend la forme

dw 4^'"

équation linéaire que l'on sait intégrer [821].

987. 2^ Étudions encore les lignes géodésiques de Tellipsoïde Des équations [721 ]

on tire

c ^c* — b^ . z r= ^À* — c* ^c* — tt* v^* — !•* ,

* ' ^ Je*-,-*

On en conclut, toutes réductions faites, F = o, puis

^«, ^„* — /**](<:* — tt^*] du i^ù* — v*)[c^ — v*)

D'après ces valeurs, en remarquant que les équations

dscQsO = ^.iiu^ dssmO=^^,dv donnent

\/ËG = sinô cosO -t-t '

(lu dv

1 sinô m^sOdO . - — - z=.---du r— </»♦,

du dv av ou

Téquation aux lignes géodésiques [982] devient

• . . ,. dE^fduy dG , fdvY dE ^ cos«0 ÔG ^ sinH

ov \dsj ou \dsj ôv E ou G