Si Ton met pour sin*^, cos^fl leurs valeurs

sm* ô = — TT- = ^ . « TT-rz » c<^s' 0 = „ , , ^ , , »

ds^ Edu* -4- Gdv* Er/«» -h Gdv^

Téquation (i) devient

[i) E</a«(r« — C)4-Grf«'»(tt»— C)=o,

ou, en mettant pour E et G leurs valeurs,

du vO* — «* ^ dv^lV — v^

yM a» — ^» ) ^c"- — «« j ^a« C) V( ^* — »'' ) (c* — i'* ) (C — r* )

équation différentielle des lignes géodésiques de Tellipsoïde, dont Tintégrale dépend des fonctions abéliennes.

Pour avoir la longueur d'un arc de ligne géodésique, mettons pour Gdv^ sa valeur tirée de (2) dans la formule rf^' = Erftt^4-Grft'^, puis pour E sa valeur tirée du n° 987. Il vient

d '^^ i : ^^2. ^ ■ — ■ du\,

d'où, en extrayant la racine carrée et ayant égard à l'équation (3),

M« v'^L» — n^ . du I'* v/) * — v^.dif

ds =

y/^i,i^i)^c* — tt*J («* — C) V(^* — ♦•'] l^' — «''JlC — J'*)

L*arc géodésique est ainsi exprimé par la somme de deux intégrales abéliennes.

989. Si Ton fait i = o, on obtiendra un ellipsoïde de révolution aplati, et les expressions précédentes se ramèneront aux intégrales elliptiques. En effet, dans ce cas, on remplacera Thyperboloïde à deux nappes par un plan

et les équations des deux autres surfaces deviendront

En opérant comme au n^ 721 , on trouvera

^i-hi/* cVl + t** c\/c* tt*

E =r -; -j F=0, G = -r-7 rr:y

L'équation des lignes géodésiques se réduit à

ou

Par un calcul semblable à celui du n^ 987, on en tire

(ludv d(j , d(j ^ sin»ô o.du . ,^

2Sin9cos9^f9= — --dvz=z -'du---— = sin'O,

ds^ au au il u

du cosSdB . ^

1 r— ;-=o, asm0 = G,

u sm 0

C étant une constante arbitraire.

LIGNES 6É0DBSIQUES. y'i

Cette équation peut s'écrire

\fG.di'

OU, en mettant pour G et ds leurs valeurs,

dv Cscdu^i* — u*

équation qui s'intègre au moyen des transcendantes elliptiques. Pour l'élément d'arc, on trouve

fis = -ï U dv Z= ; rr- = — == ===: 9

ce qui conduit encore aux transcendantes elliptiques.