Si dans l'équation
;i) i£* sin* 0-hP^ cos*0 = C
on fait u2= C, il viendra, u étant généralement différent de i^,
( «' — !•' ) cos' ô = o,
d'où résulte
cos0 = o, 0 = -*
Donc, au point où u- =z C, la ligne géodésique sera tangente à la ligne de courbure M = const. De même, pour %^^= G, la ligne géodésique sera tangente à la ligne de courbure ^ = consl. Ainsi «"= C et V- = G déterminent les points où la ligne géodésique est tangente aux lignes de courbure.
991. Pour un ombilic, on a [686, (II)] La condition j' = o donne
On a d'ailleurs
.r = — — ) d OU ù^ =z uu; oc
Téquationj^'^ = o devient donc
ttl'(« — p)*rz: o,
d'où Ton lire
Maintenant l'équation m^ sin^fl -+- j/^ cos*6= G donne, pour ces valeurs,
Telle est la valeur de la constante G pour une ligne géodésique passant par un ombilic.
992. Supposons que l'on ait tracé deux lignes de courbure d'un môme système u = const., et renfermant dans leur intérieur deux ombilics voisins. Gonsidérons les lignes géodésiques menées d'un point M de la ligne extérieure tangentiellement à la ligne intérieure aux points A et A^ Ges deux lignes géodésiques étant tangentes à une même ligne de courbure, la constante G sera la même pour toutes les deux [990]. On aura donc, au point M (m, r),
tt* sin* 6 -f- p' ces' ô = «* sin* 0' -♦- i^' ces' (/
ou
(i/* — c*) (sin*0 — sin*6') = o,
et, puisque u et i^ sont différents entre eux, il en résulte
sinô = sinO% e=zO\
Donc les deux lignes géodésiques sont également inclinées sur la ligne de courbure (^= const., et par suite aussi sur l'autre ligne de courbure u = const.
Le même théorème a lieu lorsque, au lieu d'être tangentes à la même ligne u = const., les lignes géodésiques sont menées par les deux ombilics.
On déduit de là, par une démonstration toute pareille à celle
^ LIGNES GÉODÉSIQVES. jS
que l'on emploie pour trouver la tangente à Tellipse, que la somme des lignes géodésîques qui vont des ombilics aux divers points d'une ligne de courbure u = const. est constante, de manière que cette ligne de courbure peut se décrire au moyen d'un fil dont les extrémités sont fixées aux deux ombilics et que Ton tient tendu sur rellipsoïdcy absolument comme on décrit une ellipse au moyen d'un fil dont les extrémités sont fixées à ses deux foyers.
On verrait de même que la différence des distances géodésiques des divers points de la ligne s^ = const. aux deux ombilics est constante.
Supposons enfin un fil fermé, enroulé autour d'une ligne de courbure u = const. et tel que, en le tenant tendu sur la surface, le sommet de l'angle formé par ses deux branches soit au point M d'une autre ligne u = const. Imaginons que la longueur du fil varie, s'il est nécessaire, de manière que le sommet des deux branches se trouve en un autre point M i de la même ligne de courbure. Puisque MA et MA' sont tangentes à une môme ligne de courbure ii = const., elles coupent sous des angles égaux ou supplémentaires la ligne i^ = const. menée par le point M. Donc elles font des angles égaux avec l'arc MM 4. On conclut de là que la longueur AM A'A', est égale à la longueur A Ai Mi Bi , Ai et 64 étant les points de contact des lignes géodésiques partant de M4 . Donc, un fil fermé étant enroulé sur une ligne de courbure Il =: const. et étant tendu sur la surface, l'intersection mobile de ses deux branches décrira une autre ligne de courbure du même système.
993. II. Tr ouvrer la courbe d'aire maximum parm,i toutes les courbes isopérimètres.
On demande que Ton ait
' ^^x=: maximum, pour ^=^ 1 ds=^a.
Il faut, par la règle du n® 977, chercher le maximum absolu de l'intégrale
=: « -f- /.f = I (r + 1 -;- I dr.
La variation de cette intégrale est
d^ailleurs
Jx, '^ Jx, ^i+y* Jx, ds
d'où, en réduisant, comme au n® 979,
On en tire d'abord successivement
équation d'un cercle de rayon X.
Si les extrémités (xo, j'o)> (•^^oJK* ) sont données, on aura, pour déterminer C, C, X, les trois équations
i (x,-C)«+(v,-C')' = X«, [ 2 ) arc ces — r arc cos — : — = - •
hn posant — ; — = ço, — ; — = ?i> " vient
C = J?o — Xcosyo^-^i — Xcos^^i, C = X9 — > sin^o = Ji — X sin y„
