COURBE D AIRE MAXIMUM
^'i — Jq =z — 2 A sm -i î- cos — >
2 ri— Jo
Au moyen de ces équations, on trouvera d'abord "k par la résolution d'une équation de la forme
— = sin — ;
puis on en tirera ^q et cpi, et par suite C et C
Si les extrémités {jCo,jo)y («^oJTO s^'^^ arbitraires, l'équation H = G donnera, pour chacune des deux limites,
^ iix fir
La seconde de ces équations fait voir qu'à chacune des deux limites on a
fix
— =±1, d'où j^o = ri=q=>-
Les équations (i) donneront donc
JCn ■ I X
et l'équation (2)
-r = 2îr.
L'arc de cercle est donc égal à la circonférence entière. Puisque x, = j-, = C, d'où {5i±:C')* = l«, C'(C'±2À)=o,
et par conséquent
C' = o, ou bien C == :+: 2 )» = a^o»
994. Traitons le même problème au moyen des coordonnées polaires. On doit avoir dans ce cas, en supposant la courbe fermée,
- r^c^ = maximum, pour / ^dr* -h r^fip* = a. On tire de là, les limites de Tintégrale étant constantes,
o = f7 I (-/•*-+- X V;' 4- /• * ]dpz= I L r^r -»- \ — 1 dp
Téquation difTérentielle de la courbe sera donc
La variable indépendante p n*entrant pas dans cette équation, combinons celle-ci avec Téquation
^2) d\ ^rdr-hy^d'^- =^ rdr -h Al^-f d'-f- -hrdp—] :
^ ' dp \ds dp ^ dsj '
dr . .
en ajoutant à (2) Téquation (i) multipliée par — — > il vient,
toutes réductions faites, d'où, en intégrant,
ou, en réduisant,
1 ds dr^ V=-;'+X-,- = C-<-).-p— ,
2 (ip dp ds
2 ds
COUBBB D AIRE MAXIMUM.
On lire de là
up^- (c-i'')^'-
fê-)"'
,Vi.7.--,c - 1^;. ^4>,^,<,^;^;^y'
/> — C= arc sin — *
équation d'un cercle de rayon X. Ainsi X est déterminé, le périmètre du cercle étant donné. Les constantes C, C, qui ne dépendent que de la position du cercle, sont indéterminées.
Si, au lieu de la courbe fermée tout entière, on demandait seulement le maximum de Faire d'une portion de courbe passant par deux points donnés, les trois constantes seraient déterminées par les conditions que Tare soit de longueur donnée et passe par les deux points donnés.
993 . Soit proposé de trouver, parmi toutes les lignes de lon- ^eur donnée tracées sur une surface donnée, quelle est celle qui comprend une aire maximum. Si Ton désigne par ds l'élément d'arc de cette courbe et par rfS l'élément d'aire de la surface, il faudra que, pour des limites convenables, on ait [977]
Supposons maintenant que l'on ait tracé sur la surface un système de lignes u = const., dont la ligne cherchée fasse partie, et le système des trajectoires orthogonales v := const. des lignes u = const. Alors toute ligne infiniment voisine de la ligne cherchée u = uo pourra être représentée par u = ao -+- 5a, le signe 5 exprimant que l'on a fait varier u seulement, en laissant v> constant. La variation de l'aire S, étant l'aire comprise entre les courbes w = «o et u = Mo -H Ja, aura pour expression Jàudvf [720], et, par suite, la variation de la différentielle e/S de cette aire sera
8o LIVRE IV. — CHAP. VI, § III.
Ici d indique une différentiation partielle par rapport k ^^ S une difFérentiation partielle par rapport à u.
Maintenant, dx, dy^ dz étant les projections de Tare ds= dvy et 5j:, dy^ Sz celles de Tare Jii, perpendiculaire à du, on a évidemment
(ï) dxBx-^-djSf -h{Iz$z = o.
Si dans Fexpression
ds^ == tir* -h dj* -f- dz*
on change u en u + Suy il vient
(2) dsâds=z dxSdx-^ df^dy -^ dz^dz.
En changeant, dans (i), v en v-{'dvy après avoir divisé par d$y on trouve
o = -7- Jrfx4- -^-âdr-^- —-$dz-\-§xd— -\'$Yd-^ ^$zd--^ ds ds ds ds ds ds
et, en combinant cette équation avec (a),
(3) $ds =— {$xd^-^ ^ ^fd'^-f + ^-^$ ) •
\ ds ds ds)
Or ~> ~-> — sont les cosinus des angles que fait Faix $u avec les
dx 0 j fix 0 j djr p j dz
t , l j€IX 0 -g €IX 0 ,aY P lOZ
axes coordonnés : — a-r-> •••» ou-î-«-7*» ^d-^j -7- a — sont
d-r ds ds ds ds ds ds ds
les cosinus des angles que la normale principale à la courbe u = Uo fait avec les mêmes axes. En appelant donc t Tangle que font entre eux Télément d*arc du avec la normale principale à la courbe u= Uo< dont l'élément d*arc est rf^= d\^, on aura, d'après Téquation (3),
(4) 8ds = ~^di^$u •
Cela posé, la variation de l'intégrale f{dS -h^ds) deviendra
fsu U ~ \d,.S2^\
et, pour qu'elle soit nulle, il faut que l'on ait
COSf , û
I — / =0, d ou cosi = î-
COURBE d'aire MAXIMUM. 8l
Donc la courbe cherchée, d*aire maximum, est caractérisée par la propriété que, en chacun de ses points, son rayon de courbure a UDC longueur proportionnelle au cosinus de Tangle que fait sa direction avec la tangente à la trajectoire orthogonale à la courbe sur la surface, ou, ce qui est la même chose, au cosinus de Tangle compris entre le plan osculateur de la courbe et le plan tangent à la surface.
Si la surface est plane, ce dernier angle est nul, d'où p = const. , ce qui donne la propriété du cercle trouvée au n*^ 993.
996. III. Déterminer la courbe dont la révolution autour d'un axe donné engendre une aire minimum.
Il s'agit de trouver le minimum de Fintégrale 27r / yds [754],
ou de
En prenant la variation de cette intégrale, il vient
[,^„,,..,];jr-,.4^
donc
L'équation différentielle de la courbe cherchée sera donc
(i: ils — d- — '- = o,
d*où Ton conclut que la courbe jouit de la propriété exprimée par
H. — Cours de Calcul in fin,, III. O
8a LIVRE IV. — CHAP. VI, § IIÏ.
l'équation
c'est-à-dire que la difierence entre l'arc et la distance entre le point {jc,j) et le pied de la perpendiculaire abaissée du pied de l'ordonnée sur la tangente en {jc,jr) est constante. En intégrant de nouveau, il vient
(3) jî=:(,.^C)* + C'*.
Orjr- — (.V -f- G )- =j ' — [y'r) ^^^^ carré de la distance du pied
de l'ordonnée à la tangente. Donc, dans la courbe en question, la tangente touche un cercle de rayon constant C, ayant pour centre le pied de l'ordonnée.
Pour avoir l'équation en coordonnées rectangulaires, on tire des équations (2) et (3)
d'où
d'où
et, en substituant dans (3),
(4) j = c'.ci.î^,
équation d'une chaînette.
Si les extrémités sont données, on déterminera les constantes C, O' par la condition que la courbe passe par ces extrémités.
Si l'une des extrémités (^*o> Jo) ^st mobile sur une courbe donnéey"(j:'û, j 0) = o, comme on ne peut pas poser j'o = o> il faudra qu'on ait
la chaînette devra donc rencontrer normalement cette courbe. Nous disons que l'on ne peut pas poser j 0=0. En effet, le
SURFACE DE RÉVOLUTION D'aiBE MINIMUM. 83
second membre de réquatlon (4) ne peut s'annuler pour C différent de zéro, et, en le mettant sous la forme
OÙ X = '• — —-, — > on voit qu'il tend vers l'infini, et non vers zéro,
lorsqu'on fait tendre G' vers zéro, et par suite X vers l'infini.
Cependant, si les extrémités étaient complètement indéterminées, la condition aux limites donnerait yo = o, j^i =o. Ces valeurs, incompatibles avec l'intégrale générale (4) de l'équation (i), montrent qu'il faut prendre la solution singulière j)'^ o de cette équation. On peut, en effet, mettre celle-ci sous la forme
ydy
et l'on voit qu'elle est vérifiée par y = o, ce qui tient à ce qu'on a introduit le facteur étranger dy. Pour l'intégrer sous cette forme, posons
^= ^ =z = t, d'où ^lL-.cl(tr) = o,
fi
Ir tdt y
En posant j^ = Ch^p, on aj^'= Shc) = CShcp -?, d'où
dx= Cdf, y = — - — y etc.
En appliquant la méthode générale [975, 2**], V ne contenant pas Xy on aurait pu abaisser immédiatement l'ordre de l'équation en posant
