C::^v-Qy=rv^TT7^ 1^^^= ^ , etc
997. IV. Parmi toutes les courbes isopérimètres, trouver celle qui engendre la surface de révolution d'aire minimum, ou, ce qui revient au même, celle qui a son centre de gravité le plus bas possible.
On doit Sivoirfjds = maximum ipourfds = a, ce qui conduit à la condition
Cette équation ne diflere de celle que nous avons traitée dans le cas précédent que parle changement dej^ enj^H- X. On aura donc pour la courbe cherchée la chaînette
On aura une constante de plus à déterminer et une condition de ' ds=^ a.
998. V. Braclùstochrone, — Le temps de la chute d'un corps pesant sur une courbe quelconque, depuis la hauteur Xo jusqu'à la hauteur x^ au-dessus du plan horizontal, 'est exprimé par l'intégrale
I /**^« — = / X dSy
en posant, pour abréger,
JCr
Il s'agit donc de rendre minimum l'intégrale
u =z I Hds.
En prenant la variation de cette intégrale par rapport à toutes les variables dont elle dépend , il vient
BRAGBISTOCHRONB. 85
On a maintenant
= [x '^ [ij- y *x) + X ^ (*z - z'ix)T
d'où enGn, en réduisant.
Si Ton suppose les coordonnées j^, z indépendantes entre elles, on aura, pour les équations différentielles de la courbe cherchée.
d'où Ton tire
La courbe est donc située tout entière dans un plan vertical.
Prenons maintenant ce plan pour plan des xy^ ce qui revient à prendre la droite j — Cz — C'=o pour nouvel axe des z et la perpendiculaire abaissée de Tancienne origine sur cette droite pour nouvel axe des^. En désignant par Q' une certaine fonction de C, Cj on trouve, par rapport aux nouvelles coordonnées,
A-- — L. = — -=f OU -T-^ p-, = j
ou, en posante — Xq = $,
djr
équation différentielle d'une cycloïde ayant son point de rebroussèment en (xo^^o)^ Isi base étant horizontale et le diamètre du cercle générateur = a. C'est ce qu'on vérifie immédiatement en
faisantj^' = - [t. — sint), Ç = - (i — cos£), différentiant et éliminant/.
999. Si les points extrêmes A(xo, j'o)? B(X|, jt ) sont donnés, on déterminera d'abord le plan vertical de la courbe par la condition qu'il passe par ces deux points, ce qui fera connaître C= ^
et C En prenant A pour origine, on a C = — = t^» C'= g. Ensuite,
7^=W- ■ cî
La condition que la cycloïde passe en B déterminera a, et par suite Ga. Si les points (xo,^o)> («^^o J) 0 sont assujettis à rester sur des courbes données, et que l'on suppose le mobile partant de la première courbe sans vitesse initiale, l'équation H = o se partagera en deux autres :
L \ds ds ' lis )}x = jc,
La seconde de ces équations donne
( I ) dXy^ OXl -+- th\ Oj'i -i- fiZi 03, r 2 o,
ce qui exprime que la cycloïde doit rencontrer normalement la seconde courbe.
La première équation peut se simplifier. On a, en effet, pour tous les points de la courbe,
BRACHISTOCIIRONE. 87
or
ds \ ds ) ds \ ds ) ds \ dsj
!«. /ir« -h r(r* H- ^«* . //^* H- flÇr» -H r/5* ,^
= -X./ï y-z 1 — rtX = aX.
1 ds^ ds*
Donc
et par suite
^(^dx\ dX ^ dX ,
«(X-r-f = --;- ds = — ^ — ds.
\ ds J dx oxq
D*ailleurs,
Jx. ^-^0 '^"^ \ ^isji \ HjJ D*après cela, Téquation relative à la limite x^ deviendra
V dr -^ dz , mais, X --^ et A -p étant constants, on a
ds ds
Donc
La tangente à la première courbe au point de départ doit donc être perpendiculaire à la tangente à la cycloïde au point d'arrivée, et, par suite, si les deux courbes sont dans un même plan, leurs tangentes aux points d'intersection avec la cycloïde seront parallèles. Pour déterminer les constantes x©, j^oi ^o> -^mJ^* ^ "i ^^ ^^^ quatre constantes arbitraires, on aura les quatre équations qui expriment que la cycloïde passe aux deux points extrêmes, les quatre équations des deux courbes données, lieux des extrémités, et les équations (i) et (2).
1000. VI. Parmi les solides de rév^olution de même surface, trouifer celui dont le volume est maximum.
Les expressions de la surface et du volume étant on aura, pour l'équation du problème,
En appliquant la formule V = C -h Q^) ' [97S, 2°], on trouve
d.r. as
ou
d'où
( a ) «te = — ^ '—!-■
Considérons maintenant l'équation aux limites
ou
L'équation (i) réduit cette relation à
Si Ton ne donne aucune relation entre dxo et ^x^y alors, pour que
cette équation soit vérifiée , il faudra que Ton ait C = o, ce qui
réduit l'équation (2) à
, rdr
€IX -= ' j
d'où l'on tire
équation d'un cercle ayant son centre sur l'axe de révolution. Donc, dans ce cas, la surface cherchée est une sphère de rayon X.
BBACIIISTOCHRONE. 89
Si jo» J'i sont donnés, on a alors un segment de sphère. Pour déterminer a:o> «^o ^9 on aura les équations
en représentant par mtn^ la surface donnée de la zone. On tire delà
d'où
équation qui donne pour X^ une valeur positive. Si vo et j^i sont indéterminés, on a
et, par suite, la surface est la sphère entière.
1001. VII. 7roui^er la courbe qui comprend une aire minimum entre son arc, sa développée et les deux rayons de courbure de ses extrémités.
L'aire en question a pour expression [829]
j,as=p.l±fld..
La fonction V ne contenant ici ni x ni y, nous abaisserons Tordre <ie l'équation de deux unités au moyen de la formule
Vz^C4-C'j'-hRr%
dV V qui donne ici, à cause de R= -—-r, = ;;>
4 ' r -+- C" = C arc tang > ' -+- -^ — 9
4 (j H- C; ^ C'arc tang/ - , ^^, »
équations qui représentent la courbe cherchée.
Si Ton pose arc tangj^'s= 0, il vient, en écrivant C, C au lieu , C C
de 7» -yj
x-^CzrzCO -+- ;Csinô — C'co8Ô)cosô, X -h C^— GO — ;Ccosô -H C sinô) cosô,
équations que Ton peut mettre sous la forme
