II. — Cours tic Calcul ûi/tn,, III

l8 LIVRE IV. — CHAP. V, § II.

OU

+ [ Z. ( D» ) r . + '^^^Y^' D,+ ...](r + j>; + ... = o, OU, en remarquant que le multiplicateur de r,

?i(i>f)-2^iH-xt(i>/)ri-^ •...

est nul, par hypothèse,

+ [Xi W^-i -h . . .] V -4- . . . = 0;

et de même pour les autres équations. Le nouveau système obtenu doit évidemment être de même ordre que le proposé, puisque les deux systèmes d'inconnues sont liés par des équations finies, sans constantes arbitraires ; mais le second système ne contenant plus la variable f elle-même, mais seulement ses dérivées, peut s'abaisser immédiatement d'une unité, en prenant Dfr = / pour nouvelle inconnue.

Si l'on avait, pour i = i , 2, . , ., Uy

?r*'(D,)^i+xr»'(D,)j,4-...=o,

alors les équations ne contiendraient plus que les dérivées de r à partir de Djr, et, en prenant Djr=:r(** pour nouvelle inconnue, l'ordre du système serait abaissé de Ar unités par l'existence du système Ar-uple d'intégrales (xi, ri? . • .)-

947. VI. Les calculs des deux numéros précédents s'appliqueraient aussi au cas où les seconds membres des équations proposées ne seraient pas nuls. On verrait, comme on l'a déjà fait au n^ 881, que, si l'on connaît un système d'intégrales particulières {x^l^\ y^\ . . .) des équations sans seconds membres