ET DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES
1003. Nous avons vu [773 et suiv.] que, si p et ^ sont deux fonctions données des variables x, j, on peut déterminer une fonction z de ces variables, considérées comme indépendantes, au moyen de la relation différentielle
(i) dz ^=z pdx -^ qdjr^
toutes les fois que la condition nécessaire et suffisante
(2) àp d^
est vérifiée.' Alors la solution du problème s^obtient au moyen de deux quadratures.
Nous allons maintenant examiner le cas où Ton se propose de déterminer la fonction z au moyen d'une relation de la forme (i), dans laquelle peiq ne sont plus des fonctions des seules variables indépendantes j:, j, mais contiennent explicitement la variable z elle-même.
Il est un cas qui se ramène immédiatement à celui que nous
H. — Court de Calcul infin*, III. 9
l3o LIVRE V. — CHAP. I.
avons déjà traité : c'est celui où les variables sont séparables, c'est-à-dire où p et ^ ne contiennent z que dans un facteur commun Z. Si Ton suppose
/? = ZP, 7 = ZQ,
P et Q étant deux fonctions de a: et de j^ seulement, Téquation^ qui devient
sera intégrable si P et Q satisfont à la condition ^ ^= -^^ et son
intégrale sera une relation entre Xy j, z et une constante arbitraire.
Soit, par exemple, Téquation
(jc* -^-y^^dz = (^ — à) \^xdy — ydx^ En l'écrivant sous la forme
dz .rdy — ydx
on voit que le second membre est une différentielle exacte, et il vient, en intégrant,
log(5 — a) =:arctang— -i- logC, ou z — ûr=Ce •*.
1004. Considérons maintenant le cas général. Une équation de la forme
dans laquelle on fait varier le paramètre arbitraire C, représente une série de surfaces. En la différentiant, l'équation obtenue
(4) dY[x,y,z) — o, ou ^^•^-+"^'(^+^^2 = 0,
exprimera une propriété commune à toutes les surfaces représentées par réquation (3), et, réciproquement, cette équation (4) équivaudra parfaitement à l'équation (3), qui en est la conséquence.
ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. l3l
Si, au lieu d*étre résolue par rapport à C, Téquation de la série de surfaces est de la forme
en éliminant C entre cette équation et sa difTérentielle
(6) dF{x,x,z,C)=o,
on obtiendra encore une relation entre x, y, z et leurs diflFérentîelles, qui exprimera une propriété commune à toutes les surfaces de la série. De plus, en raisonnant comme au n° 784, on verra que, si Félimination de C se fait sans introduction de facteurs étrangers, Téquation différentielle obtenue équivaudra à Téquation primitive (5) et représentera la môme série de surfaces.
L'équation (6) étant linéaire par rapport à dx^ dy^ dz, si Ton substitue dans les coefficients de ces différentielles la valeur de C tirée de l'équation (5) (que celte valeur soit ou non exprimable explicitement par les signes des fonctions élémentaires), cette équation conservera sa forme linéaire et aura pour type général
(7) Pi/x-f-Qi/r 4-R^z = o,
P, Q, R étant des fonctions explicites ou implicites de x,j, z. Si ces fonctions avaient plusieurs déterminations, il en résulterait plusieurs formes pour l'équation (7), et l'on pourrait, par la multiplication, réunir ces diverses formes en une équation unique, laquelle serait alors de degré supérieur par rapport à dx, dj, dz, mais dont le premier membre jouirait de la propriété d'être décomposable en facteurs linéaires par rapport à ces différentielles. Si l'on pose, pour plus de simplicité,
l'équation différentielle prendra la forme
sous laquelle nous allons l'étudier.
1005. Nous avons vu que, si p et y étaient des fonctions de x et de r seulement, ces fonctions devaient nécessairement satis-
l34 LIVRB V. — GHAP. I.
petite en même temps que dx et dj, on aura
On trouvera de même la formule analogue
rf«K*) = [@)+«"]'<rrf'
Donc la condition (8) devient, en divisant par dxdy^
(i)-'=fê)-''
et, comme { ;r- ) ^^ ( 3^ ) sont des constantes relativement à dx et à djTy il en résulte [166] que Ton a rigoureusement
<^' (i)=(fi)'
dz ou, en développant, et remplaçant, en vertu de Téquation (i), y-
dz par P et ^ par y,
/ \ dp dp dq dq
Cette égalité doit avoir lieu pour tout système de coordonnées x, y y z satisfaisant à Téquation de la surface déterminée par l'équation différentielle. Or, d'après la manière dont nous avons construit cette surface au moyen de ses génératrices, l'ordonnée initiale PM a pu être choisie arbitrairement, ce qui revient à dire que l'équation de la surface doit renfermer une constante arbitraire. Mais l'équation (lo) ne pourrait pas subsister si la valeur de z correspondante aux valeurs quelconques j:,j^ était arbitraire. Il faut donc que cette égalité soit identiquement vérifiée par les valeurs des fonctions p et y, quels que soient x^j, z. Cette identité est donc nécessaire ; nous verrons plus loin qu'elle est aussi suHisante.
Si l'on suppose l'équation donnée sous la forme (7), et que Ton
remplace p, q par — -, — ^, la condition (10) prendra la forme
it li
ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. l35
plus symétrique
1006. Si la condition (lo) n'est pas identiquement vérifiée, Téquation différentielle (i) ne pourra être intégrée par une relation unique entre Xyj-y Zj renfermant une constante arbitraire.
Il peut se faire, dans certains cas, que Téquation (lo), n'étant pas identique, donne, par la différentiation, une valeur de dz en Xyy, Zj dxj dj^ qui satisfasse à Téquation (i), c'est-à-dire qui devienne égale kpdx'^' ({dy, lorsqu'on remplace partout z par sa valeur tirée de l'équation (lo). Dans ce cas, l'équation différentielle, quoique n'admettant pas d'intégrale générale, c'est-à-dire ne représentant pas une série de surfaces, admet cependant une intégrale particulière sans constante arbitraire, c'est-à-dire qu'elle représente une surface unique et déterminée. Nous verrons plus loin un exemple de ce cas.
Si la différentielle de l'équation (lo) ne s'accorde pas avec l'équation (i), quels que soient dx^ dy^ alors l'équation (i) ne peut être vérifiée par aucune relation unique entre x, y^ z, et elle ne peut convenir à aucune surface. On pourrait alors établir entre a:, y^ z une relation arbitraire quelconque, au moyen de laquelle on exprimerait Mj par exemple, en fonction de x et àey, et dz en fonction de Xj yy dxj dy. En substituant ces valeurs dans l'équation (i), celle-ci deviendrait une équation différentielle ordinaire entre deux variables. En l'intégrant, on aurait une relation entre x, y et une constante arbitraire, relation qui représenterait une série de courbes tracées sur la surface choisie arbitrairement. Nous verrons plus loin comment on peut arriver simplement à cette solution.
1007. On voit aisément que, si la condition (9) ou (10) est vérifiée identiquement, on peut alors tirer de l'équation différentielle (i) le développement de z par le théorème de Taylor.
D'abord, sous cette condition (9), on peut tirer de l'équation (i) les valeurs de toutes les dérivées partielles d'ordre quelconque de z, exprimées au moyen àe x^y^ z. On a déjà
dz dz
l36 LIVRB V. — GHAP. I.
Ensuite il vient
où l'on remplacera -r-y -r- par p et ^ ; puis, en vertu de la condition (9),
dxdx \àx) \àj^/*
En passant aux dérivées du troisième ordre, on aura, par exemple, soit en partant de -r- ==/?, soit de ^ = y, les valeurs, identiques d'après la condition (9),
da^dy "" \dxôxl "" \ d-c / \ dx / "" \dx^ ) ' et de même, en général.
dx"*-» dir"-*
de sorte que les valeurs tirées de p sont identiques aux valeurs tirées de q.
Cela fait, soit Zo la valeur arbitraire de z correspondante au point initial (:ro, j'o) du plan des xy^. En mettant pour x^y, z les valeurs Xtyjty ^0 dans les expressions de toutes les dérivées partielles de z, on obtiendra les valeurs de tous les coefficients du développement de z suivant les puissances de a: — x© et de j^ — y^^ et ce développement contiendra la seule constante arbitraire z^. On voit que la condition nécessaire et suffisante pour que ce développement soit possible, c'est que la condition (9) ait lieu.
1008. La surface variable F(a:,^, ^, C):= o, dont l'équation est l'intégrale générale de l'équation (i), peut avoir une enveloppe, dont l'équation s'obtiendrait, comme ceUe de l'enveloppe d'une
BQVATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. liy
courbe plane , par J'éliminatloD de C entre les équations F = o dF
On démontrerait, comme pour le cas des courbes planes, que l'équation de l'enveloppe satisfait aussi à l'équation différentielle des enveloppées, dont elle est une solution singulière.
1009. Une équation aux différentielles totales,
(7) * P^H-Q<f^-i-R£fo=:0,
lorsqu'elle est intégrable, admet un multiplicateur fx, c'est-à-dire un facteur tel que, en multipliant par lui le premier membre de l'équation, le produit devient une différentielle exacte.
En effet, si l'équation (7) admet une intégrale renfermant une constante arbitraire C, cette intégrale, résolue par rapport à C, prendra la forme /(a:, ^, z) = C, d'où Ton tire, en différentiant,
' ôx dx az
Puisque la valeur de z tirée dey=C satisfait à l'équation (7), il faut que les coefficients de dxj <fyj dz soient proportionnels dans les deux équations (7) et (la), c'est-à-dire que l'on ait
࣠^ ^ dx ôy dz
et l'on prouverait, en raisonnant comme au n^ 829, que ces deux relations doivent être des identités. En désignant donc par fA la valeur commune des trois rapports précédents, on aura
Donc fi(Pdx -H Qdy + Rrf«) = d/[x,j^, z) est une différentielle exacte d'une fonction des trois variables x, j^, z, considérées comme indépendantes.
Les conditions d'intégrabilité de cette différentielle donnent [776] les relations identiques
d(f*Q)^(f*R) d{i.K)d{i.P) d(f*P) __ d(f*Q) ôz dx àx dz dy dx
l38 LIVRE V. — CHAP. I.
Développant les calculs et ajoutant ces trois égalités, respectivement multipliées par P, Q, R, on obtient la condition (i i), laquelle doit être, par suite, identiquement vérifiée toutes les fois que Téquation (7) est intégrable par une équation renfermant une constante arbitraire.
1010. Voyons maintenant comment on peut trouver l'intégrale d'une équation donnée
(l) dz=pdx -h qdjr,
lorsque cette intégrale existe. Cette équation équivaut aux deux équations
(i3) dj;Z = pdx^
(l4) dyZ = qdjr.
Si elle admet une solution, celle-ci doit être comprise dans l'intégrale générale de l'équation ( 1 3) , considérée comme ayant lieu entre les deux seules variables xei z. L'intégrale générale de (i3) peut être mise sous la forme
Y étant une quantité arbitraire, indépendante de x, et pouvant être considérée comme une fonction arbitraire dey* Il reste à voir si, par une détermination convenable de cette quantité Y, on peut faire en sorte que la valeur de z donnée par l'équation (i 5 ) satisfasse aussi à l'équation (i4)* Pour cela il faut que, en tirant de (i5) les valeurs de z et de dyZf et les portant dans l'équation (14)9 celle-ci puisse être identiquement vérifiée par une détermination convenable de Y en fonction dej- seul. L'équation (i4) devient, par cette substitution,
Z étant remplacé dans le second membre pary(a:, J^, Y). Pour que cette équation puisse être vérifiée par une valeur de Y en j^ seul, il faut que ses coefficients soient indépendants de or, et par suite que X en disparaisse en même temps que z, ou que x ne figure plus dans l'équation que dans un facteur que l'on puisse supprimer. Réciproquement, si cette condition est vérifiée, la relation (16)
ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. iSg
sera une équation différentielle du premier ordre entre les deux variables y et Y, et Ton pourra en tirer, par l'intégration , une valeur de Y en fonction de y et d'une constante arbitraire C.
On voit donc que, en substituant pour Y cette valeur en^ et C dans l'expression (i5) de r, on obtiendra une valeur de ^ qui satisfera à la fois aux deux équations (i3) et(i4)y et par suite à Féquation proposée (i).
1011. Voyons maintenant comment on pourra, avant d'effectuer l'intégration de l'équation ( 1 3) , reconnaître d'avance si x disparaîti^a bien lorsqu'on éliminera z entre (i4) et (i5). Si la disparition a
lieu dans l'équation (i6), la quantité -z \'-^~î 7 étant indé-
pendante de Xy ou ne contenant x que dans un facteur commun, sa dérivée partielle par rapport à x sera nulle, soit identiquement, soit en vertu de l'équation (i6), et l'on aura identiquement
u^\ d'/ ay dY (dq\
^ ^^ dxdy ~^ dxdX dy "" \dx] '
lorsqu'on remplacera z pary*(a:, j^, Y), et Y par sa valeur en^ et C. Mais, (i5) étant l'intégrale de (i3), on aura identiquement, en remplaçant z pary(j:, j^, Y),
àf Tx=^'
et, comme il doit en être de même quel que soit j^ les dérivées partieUes des deux membres par rapport ky seront égales, d'où l'on tirera
,81 d«/ d>/ dX ldp\
' ^ àxdy ôxôY dy ~ \dxl '
ce qui aura lieu, pour z =/'(^x,y,Y)y quel que soit Y indépendant de Xy et en particulier pour la valeur de Y déterminée en y <ît C. Or, pour cette valeur de Y, les premiers membres des équations (i7)et(i8) sont égaux; donc il en est de même des seconds, et Ton a, par conséquent, la condition
qui, étant développée, n'est autre que la condition (lo).
l4o LIVBB Y. — GHÀP. I.
Mais y Y contenant une constante arbitraire au moyen de laquelle on peut, pour des valeurs données quelconques de x et de ^, faire prendre à z=f{x,y,Y) une valeur arbitraire, l'égalité (19) devra avoir lieu pour un système quelconque de valeurs de x^y^ z ; donc cette égalité devra avoir lieu identiquement, sans que Ton ait besoin de remplacer z par sa valeur (i5). Ainsi, Tidentité (10) est une conséquence nécessaire de Tintégrabilité de Téquation (i).
Réciproquement, si l'identité (10) a lieu quels que soient x,j',z, elle subsistera encore lorsqu'on prendra pour z la valeur (i5), intégrale de l'équation (i3 ). Cette valeur dez donne identiquement, quel que soit Y indépendant de Xj
df d\f ^ d\f dY
dx '^ ôxdjr dxôY dy
Donc on aura aussi, pour la même valeur de z, l'équation (17), qui exprime que la quantité t^ + 3^ 5^ Ç ^st indépendante
de X. On peut donc rendre cette quantité nulle par une détermination convenable de Y en fonction de j^ et d'une constante arbitraire, et, pour cette valeur de Y, la valeur (i5) de z satisfera à l'équation (i4)- Comme elle satisfaisait déjà à l'équation (i3), il s'ensuit qu'elle sera une intégrale de l'équation (i). Donc la condition (10) est suffisante pour l'intégrabilité de l'équation (i).
1013. Voici, d'après ce qui précède, comment on devra procéder pour obtenir l'intégrale générale d'une équation donnée
(7) Vdx-hQ^dx-hfidz^izo.
Comme on peut toujours prendre à volonté, parmi les trois variables XyyjZf celle que l'on considérera comme une fonction inconnue des deux autres, supposées indépendantes, égalons d'abord à zéro celle des trois différentielles pour laquelle l'équation restante fournira le calcul le plus simple, dy par exemple. Intégrons alors l'équation à deux variables
Prfj:-HR</» = o,
dans laquelle on regarde j- comme une constante. On obtient ainsi une intégrale de la forme
ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. l4l
Y étant une fonction inconnue de y. Différentions maintenant cette équation partiellement par rapport à j-, et, entre la différentielle
TéquatioD (i8) et l'équation différentielle
Qrf^-f-R€3fe = o,
éliminons z et ^« Si la condition d'intégrabilité est remplie, le résultat de cette élimination devra être une relation entre les seules
quantités^, Y, — > d'où x aura disparu. En intégrant cette nouvelle
équation différentielle, on aura une valeur de Y en fonction de j^ et d'une constante arbitraire, et cette valeur, substituée dans (i8), donnera l'intégrale générale de l'équation (7).
Exemples, — I. Soit l'équation
(1 + j:H-^-*- z) dx -{- df -^ dz-=: O*
En supposant d'abord cLr = o, x constant, on aura à intégrer
l'équation
djr -k- dz=zo^ d'où ^ -h z = X.
En différentiant cette équation par rapport ^ x,y étant constant, il vient dz = é^X. Substituant cette valeur et celle Aqj + z dans l'équation proposée, où l'on aura fait £2^ = o, il vient
(H-jr-HX)££r-4-flrX = o, d'où [821] X = — x-*-Ctf-*. L'intégrale générale de l'équation proposée est donc
