III. Soit l'équation

[y -^^]y4x -h (jr-h z)zdy'\- [y — x)ydzz=o, et supposons dj =:Of y constant. L'équation

d.r dz , / \ ^'

H z= o donne jr + z=(r — .r ) 1 1

d'où, en difTérentiant par rapport àj)',

dx -^dz=: [x - x)dY -hYdj- = [y ^z)^ -^Ydf,

et, à cause de :t-hr = [x — j) (i — Y), l'équation

[x -h z)zdf -4-(j — x)xdz =2 o

devient, en réduisant et divisant par [x — j)^,

j Y{Y— ij r — <-

et par suite

IV. Soit encore l'équation (x* — ^* -f- z') tir — z«€/r -+- 2 -h (.r -4- j) ^ (^ — or) rfo = o.

En faisant rfs ;= o, il vient

(x* — j* + z») r/jr — »*//>• = o,

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. l43

équation qui est évidemment vérifiée par y=,x. On est porté ù croire, d'après cela, qu'elle se simplifiera si Ton pose

ce qui donne, en eOet,

Z' — \' 1UXZZZ 1/',

ax

équation de BernoulU [824], dont l'intégrale est, en se rappelant que z joue ici le rôle d'une constante,

ou, en posant généralement Jé~^^dt = f(f ),

DifTérentions maintenant cette équation partiellement par rapport à z, en supposant x constant, et j>^ et par suite u fonctions de z. On trouve

On a d'ailleurs j^ = x -+- a, d'où dy = duy ce qui, avec dx = o, réduit l'équation proposée à

- 2*-!- ^.r* -i- ux — Trdu H uaz=zo.

Substituant dans cette équation la valeur de du tirée de la précédente et divisant par u', on trouve

ou, en développant et réduisant,

Zdi -4- 3£/Z = o, d'où Zs = C; par suite,

l44 LIVRE V. — GHAP. I.