V. Si, dans Téqualion

Py Q, R sont des fonctions homogènes de même degré m en JCyj'y z, en posant alors

S, Tf U étant des fonctions de s et de t, Téquation prendra la

forme

dz Sds-hTdt __

7 "^ Sj + Tr + U "~ ^'

où les variables sont séparées [1003]. On peut appliquer cette méthode aux trois exemples précédents.

1013. Si la condition d'intégrabilité n'est pas vérifiée, alors, en éliminant [1010] la variable z entre les équations (i5) et (i6), la variable x ne disparaîtra pas en même temps que z, et l'on ne pourra plus obtenir l'intégrale de l'équation (i) sous forme d'une relation unique entre Xyj-f z et une constante arbitraire. Il faut alors [1006] établir entre x^ y^ z une relation arbitraire, pour ramener l'équation (i) au cas d'une seule variable indépendante.

On peut prendre pour cette relation l'équation

On aura alors, en diflférentiant,

On a d'ailleurs identiquement, d'après ce que nous avons vu. Retranchant cette égalité de la précédente, il vient

Or la condition pour que l'équation différentielle (i) soit véri-

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. l45

fiée, c'est que Ton ait dz = pdx-h f/dj, condition à laquelle on satisfera, si l'on pose

— ^-^ ^-^ ^ ^ "" 5;^ "^ dY df'

c'est-à-dîre si l'on prend pour seconde équation entre x, y y z l'équation (16), qui nous avait servi, dans le cas d'intégrabilité, à déterminer la fonction Y.

Lors donc que la condition d'intégrabilité ne sera pas vérifiée, on commencera encore le calcul comme nous l'avons indiqué au n® 1012. Après avoir trouvé l'intégrale (18) de l'équation Vdx 4- ^dz = o, on différentiera partiellement cette intégrale par

rapport à j% en laissant x constant et remplaçant -r- par — J^« On aura alors les deux relations

^1 ^N dY ÔY dX dY

(,9; F(x,r,3,Y).= o, -Kç+__=.o,

contenant la fonction arbitraire Y de la variable j*, et représentant une infinité de courbes dont les équations satisferont chacune à Téquation différentielle (7).

Par ce moyen, l'intégration de l'équation Vdx -f- Rû?z = o peut se faire avant que l'on ait choisi la fonction arbitraire Y.

1014. Si, au lieu d'une fonction arbitraire d'une seule variable j^,

on voulait introduire dans les équations intégrales une fonction

arbitraire d'une fonction donnée u des trois variables x,j^, z^ on

exprimerait une de celles-ci, x par exemple, en fonction des deux

autres et de m, et, si l'on a dx = Idu -^ mdy -hndzy l'équation (1)

deviendra

Ipdu -f- [mp -h q)djr -\- {^np — 1 ) cfe = o.

Si maintenant /(a,j^,^,U) = o est l'intégrale de l'équation

[mp-h YJ^-f- [np — j)dyZ=i o,

on n^aura qu'à joindre à cette intégrale sa dérivée partielle par rapport à u,

du I — rip dz ÔV du H. — Cours de Cale, infinité, III. lO

I46 LIVRE V.— GHAP. I.

pour avoir un système d^intégrales dépendant d'une fonction arbitraire d'une fonction donnée des trois variables.

1015. On peut encore se proposer de déterminer la fonction arbitraire Y des équations (ig) de manière que les lignes représentées par ces équations se trouvent sur une surface donnée

(20) f(x,jr, z) = 0.

On éliminera alors x ei z entre les équations (19) et (20), et il

restera une équation entre j", Y et — > d'où l'on tirera par intégration la valeur de la fonction Y.

On aurait pu, dans ce cas, plus simplement, éliminer d'abord z et dz de l'équation (7), au moyen de l'équation (20) et de sa dîffé-

rentielle, et intégrer ensuite l'équation résultante entre j:,^ et -^ •

1016. Exemple, — On propose de déterminer une surface conique dont le sommet soit en un point donné (a, b, c), et qui soit de révolution autour de l'axe des z.

En écrivant que le plan tangent en un point quelconque de la surface passe au point [a, b, c) et que la normale rencontre toujours l'axe des z, on a les deux équations

, . dz , ,yàz dz dz

d'où l'on tire

\ dz \ dz z — c

X dr jr djr j:[x — a]~i-j[jr — b)

équations dont l'ensemble équivaut à l'équation aux différentielles totales

, , dz xdx -h ydr

[ij z=. ^^—^ .

La condition d'intégrabilité, qui se réduit à

bx —. ay,

ne peut être vérifiée identiquement que si l'on a a = J = o ou si le sommet donné est sur l'axe des z, et il était aisé de le prévoir

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. l47

a priori, autant du moinsqu'il s'agit de trouver une surface dont l'équation doit renfermer une constante arbitraire.

Cependant T équation est vérifiée en égalant à zéro le facteur z — c ; car, en posant, pour abréger,

si Ton écrit T équation (i) sous la forme

[z — c)x [z — c)r dz = ' — dx -f- ■ ^ dy^

la condition d'intégrabilité devient

(z — c]x dv X dz [z — c]y dv X dz

f* dy V ày v^ dx v ôx

ou, en mettant pour — > -^ leurs valeurs données par Téquation

différentielle,

[z — c)[bx — ajr)=^o,

La condition z — c = o n'est pas vérifiée identiquement, mais elle s'accorde avec Téquation différentielle. On a donc une solution unique de la question dans le sens de Ténoncé [ 1006], le plan ^ == c étant le seul cône de sommet (a, i, c) qui puisse être regardé comme étant de révolution autour de Taxe des z.

Pour avoir maintenant une série de courbes satisfaisant à Téqualion (i), intégrons d'abord l'équation

xdx -^ rdy

ce qui donne

(f[z) étant une fonction arbitraire de z. On y joindra [1013] l'équation

dx dy ...

dz dz

dx V dy V

> ei

lO.

% n 1 f^ *• dy V ,,

ou 1 on remplacera — par — > -j- par — ^ — > et 1 on aura

CLz I Z — C \ X uz ( z ~~~ ^ ) y

l48 LIVEB V. — CHAP. I.

réqaation

(3) x[x-'a)-hx[x—à) = -[z^c)f'{z),

qui, jointe à Téquation (2), représentera la série de courbes cherchée. Ce sont les h'gnes de contact d'une surface de révolution (2) autour de rax.e des z avec un cône circonscrit à cette surface et ayant pour sommet le point [a, b, c).

FORMATION DES ÉQUATIONS AUX DÉBITÉES PARTIELLES. l49