ËQDÂTIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

FORMATION VES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES PAR l'élimination DES FONCTIONS ARBITB AIRES.

1018. Soit u =y(ar, y, z) une fonction donnée des variables Xy y y z, et supposons qu'on établisse entre ces trois variables une relation de la forme

F désignant une fonction donnée, (f une fonction arbitraire. L'équation (i) pourra encore se mettre sous la forme

(a) ?(«) = f(*ir, «) = ^

V étant, comme Uy une fonction donnée de x, j^, Zy ou encore sous la forme

4> étant encore un signe de fonction arbitraire. Sous ces diverses formes, on peut dire que l'équation (i), (2) ou (3) établit une relation arbitraire entre deux fonctions données de Xyjy z.

Cette équation (i), (2) ou (3) représente une infinité de surfaces, composant une même famille, laquelle est caractérisée par la nature des fonctions données a et F ou Vy et les diverses surfaces de cette famille diflfèrent entre elles par la nature de la fonction arbitraire f ou 4>,

l5o LIVEE V. — GHAP. II, § I.

1019. On peut maintenant, au moyen de la difTérentlation, éliminer la fonction arbitraire f ou 4>, et tirer de la relation donnée entre x^y^ z, qui renferme une fonction arbitraire, une relation sans fonction arbitraire , exprimant une propriété commune à toutes les surfaces qui appartiennent à la famille considérée.

Désignons, pour abréger, par/;, q les dérivées partielles -r-»

ôz

--J et convenons, comme nous l'avons déjà fait [1005], de représenter par ( ;t- ) > par exemple , la dérivée partielle par rapport

à X d'une fonction u de Xyj-, z, prise en y faisant varier a:, nonseulement en tant que cette variable entre explicitement, mais encore en tant qu'elle entre implicitement par le moyen de z.

En différentiant l'équation (3) par rapport àx, puis par rapport à y, il viendra

du \dxj ' dv \dx)

ô^ di

fdu\ dlffâp\

d'où l'on tire, en éliminant le rapport

du ' dv

ou, en développant,

\dx) \dx)

l'équation

du

di-

du

dv

du

dv

dx du

dx

dz du

dz di-

-hg

dx du

dx dv

dx

dx

dx

dx

dz

le terme multiplié par pq s'évanouissant identiquement. On a donc, pour toutes les surfaces de la même famille, une même relation (5) entre les variables indépendantes x, /, la fonction z et ses deux dérivées partielles p, q. Une telle relation s'appelle une équation aux dérivées partielles. De plus, cette équation est du

FORMATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. l5l

premier ordre, parce qu'il n'y entre que des dérivées partielles du premier ordre, et elle est linéaire, parce que ces dérivées partielles n'y entrent qu'au premier degré et sans être multipliées entre elles.

1020. Réciproquement, l'équation (5), que nous avons déduite comme conséquence de l'équation (a) ou (3), entraîne elle-même cette dernière comme conséquence. En effet , Téquation (5), qui peut toujours se ramener à la forme (4)^ s'écrit aussi sous la forme

W étant la valeur commune des rapports précédents, quelle qu'elle soit. Donc l'équation aux dérivées partielles (5) équivaut à l'établissement entre uei^f d'une relation de la forme

qui devra être vérifiée identiquement si l'on donne à z une valeur qui satisfasse identiquement à l'équation (5). Or, d'après ce que nous avons démontré [778], cette relation exige que les quantités u et ^ soient fonctions l'une de l'autre lorsqu'on y remplace z par sa valeur en Xyj-. Donc il doit exister entre u et i' une relation arbitraire, telle que (2) ou (3), dont rien d'ailleurs ne particularise la forme. Par conséquent, toute fonction z des variables indépendantes x, y qui satisfait identiquement à Téquation (5) doit être déterminée en x et j* par une relation de la forme (2) ou (3), c'est-à-dire par une relation arbitraire entre les fonctions déterminées u, y de x, y y z.

Nous faisons ici abstraction des solutions étrangères ou singulières qui pourraient s'introduire avec des facteurs communs dans le premier membre de l'équation (5). Nous laisserons de côté ce genre de solutions, qui donnerait lieu à des recherches analogues à celles que nous avons faites pour les équations du premier ordre entre deux variables, si ce n'est qu'elles seraient plus compliquées.

On pourrait aussi traiter les questions des deux paragraphes précédents par la considération des déterminants fonctionnels, comme nous allons le voir pour un cas plus étendu .

l52 LIVBB V. — CHAP. II, § 1;

1021. Soit, en général, t une fonction des n variables indépendantes Xyj^ Zj . . ., et supposons que

soient n fonctions données des 72 + 1 variables

Si l'on pose entre les n fonctions u, ^, (v, . . . une relation arbitraire

♦(tt, r, i\\ .. .; = o,

on pourra de cette relation tirer une équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre de la fonction t^ équation qui ne contiendra plus la fonction arbitraire 0.

Posons, en effet, pour abréger l'écriture,

dt

dt

^=d"/ "^^-ày

, du f du

En différentiant successivement l'équation (6) par rapport à J", j', Zy . . , , il viendra

L'élimination de — 9 — > • • • entre ces équations donne la relation

du ôv ^

u^ -h pu,

H- qUf V 4-

Or, le déterminant

a -^ pu b -\- pp h'-^qp

ça