FORMATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

peut se mettre sous la forme

— p-hp a-^poL b-^pP ...

— Ç -+- 7 a'-^-qoL h'-k-qP ...

ety en ajoutant à la deuxième, à la troisième, . . . ligne horizontale les produits de la première ligne horizontale respectivement par — py — ^, . . . , le déterminant se réduit à

oc

D'après cela, le déterminant A ci-dessus deviendra

Donc Téquation A == o devient, en développant,

«'or ''x

équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre de la fonction t.

1022. On peut arriver plus directement à Féquation (7) par la propriété fondamentale des déterminants fonctionnels [316],

Si Ton remet, dans Téquation (6), à la place de t sa valeur en jr.

J'y z, , tirée de cette même équation, cette équation se changera

en une relation identique entre les fonctions u, ^, . . . , exprimées en^yj", .... Donc, après le remplacement de t par sa valeur, ces fonctions u, i^, ... ne sont plus indépendantes entre elles, et, par suite, leur déterminant fonctionnel est identiquement nul. Donc, lorsqu^on met pour t sa valeur enar,j', ... tirée de (6), l'équation (7) ou (8) doit être identiquement vérifiée.

LIVRB V. — GHAP. II, | I.

Réciproquement, si, pour une valeur convenable de t en x, y, . . . , Téquation (8) ou (7) est identiquement vérifiée, c'est que la substitution de cette valeur dans u, sf, ... fait évanouir le déterminant fonctionnel de ces fonctions par rapport kx,yj . . . , et que, par suite, ces fonctions cessent d*étre indépendantes entre elles. Donc, pour cette valeur de £, il doit s'établir une relation identique quelconque entre u, 1^, . . . , de sorte que t est une solution d'une équation obtenue en posant entre u, f^, ... une relation quelconque. Nous venons de voir, d'ailleurs, que l'équation (8) ne dépend nullement de la forme de cette relation, laquelle est, par conséquent, entièrement arbitraire.

Donc les deux relations (6) et (8) sont une conséquence l'une de l'autre, et, partant, elles sont entièrement équivalentes entre elles.

1023. Exemple. — Soit la relation

par laquelle t est défini comme une fonction homogène du degré (x des variables x, jy Zj .... Ici u, p, tv, . . . sont respecti-

vement les expressions --> — > -> •••7 et, par suite, l'équation (7^)

devient

OU, en développant,

lit=px -+- 7J -h rs -h . . . ,

équation qui exprime la propriété générale de la famille des fonctions homogènes, connue sous le nom de théorème d'Euler

FORMATION DES ÉQUATIONS AUX BÉRIVÉES PARTIELLES. l55

[322] . On voit, par la réciproque du numéro précédent, que cette propriété est nécessaire et suffisante pour caractériser ces fonctions.

1031. Si la relation donnée, au lieu d'une seule fonction arbitraire ^{u)f contenait deux fonctions arbitraires f (u), x(^) ^^ fonctions données u, (» des variables x, j'', z, en sorte qu'elle fût de la forme

F désignant une fonction donnée, en différentiant cette équation une première fois par rapport à x et par rapport à y, on obtiendrait deux équations de plus, en tout trois, et deux quantités de plus à éliminer, ç'(m), z'(^)> ^^ ^^"' quatre. En passant aux dérivées du second ordre, on aurait trois équations de plus et

deux quantités de plus à éliminer, 9''(î*)> x''(^)» ^^^^ ^^ '^^^^ ^^^ équations et six quantités à éliminer, de façon que l'élimination ne pourra se faire que dans des cas particuliers. Il faudra donc généralement aller jusqu'aux dérivées du troisième ordre, ce qui portera à huit le nombre des quantités à éliminer et à dix celui des équations. On pourra donc combiner ces équations de plusieurs manières différentes et en tirer différentes équations aux dérivées partielles du troisième ordre, délivrées des fonctions arbitraires et procédant toutes de la même équation primitive.

Généralement, si l'on a n fonctions arbitraires portant chacune sur une fonction donnée de x, y^ z, en différentiant l'équation jusqu'à ce que l'on arrive aux dérivées de l'ordre m, on aura

quantités à éliminer entre

équations. Pour que l'élimination soit possible, il suffit que l'on ait }> /i, condition qui sera remplie si l'on prend

IW = 271 — I,

Tel est, en général, l'ordre de l'équation aux dérivées partielles résultant de l'élimination des n fonctions arbitraires. Le nombre des quantités à éliminer sera alors a/x', et celui des équations

l56 LIVRE V. — CHAP. II, § II.

aw^-i- n. En combinant celles-ci par groupes de 2«-+ 1, on pourra faire de diverses manières Télimi nation des fonctions arbitraires.

On voit que, pour le cas même le plus simple de deux variables indépendantes, la relation entre l'ordre de l'équation différentielle et le nombre des arbitraires de l'équation primitive est loin d'être aussi simple que dans le cas analogue des équations à une seule variable indépendante.

Si, au lieu d'une fonction arbitraire (f{u) d'une seule fonction donnée u, on avait, dans l'équation primitive entre x,^, z, une fonction arbitraire (f[u,sf) de deux fonctions données, l'élimination de cette fonction entre l'équation primitive et ses dérivées partielles ne pourrait plus se faire, chaque nouvelle différentiation introduisant précisément autant de nouvelles quantités à éliminer que de nouvelles équations.

§ II