SURFACES CYLINDRIQUES

équation générale des surfaces cylindriques parallèles à la droite (4) x=zaz, j-^zbz.

En différentiant Téquatlon (3) par rapport à x et à j-, il vient

I — bq =^ — aq f'[x — «z),

d'où , en éliminant f'{x — as),

1 — bq — aq

ou, en réduisant,

ap -\- bq I ,

équation aux dérivées partielles de toutes les surfaces en question. On aurait pu obtenir directement cette équation en exprimant

que, dans les surfaces cylindriques parallèles à la droite (4)» le

plan tangent est toujours parallèle à cette droite.

Réciproquement, cette propriété du plan tangent, exprimée par

Téquation (6) ou (5), suffit pour définir la surface (3). En effet,

l'équation (5) peut s'écrire

— hp T — bq ^x[x — ^^) ^Y [X — ^^)

I — ap — aq ^x(*^ — "*) dy[x — az)

OU, en désignant par od la valeur commune des deux rapports précédents,

djc[x — ^^) ^= ^dyc[x — (iz)y dj.[jr — bz] = fûdy[x — az],

d'où Ton tire, par addition,

d[jr — bx) =: <tid[x — az].

Donc, d'après ce que nous avons démontré [778], les deux fonctions x — CL^^y — iz doivent dépendre l'une de l'autre, ce qui donne l'équation (3).

1096. On peut encore présenter le même calcul sous la forme

suivante. Soient

abc

t58 LIVRE V. — GHAP. II, § II.

les équations de la génératrice d^un cylindre,

/(«, j3,7)=ro, F(«, p,7)=:-.o

les équations de la courbe directrice sur laquelle s^appuie la génératrice dans son mouvement. En éliminant a, j3, y entre les quatre équations précédentes, ou, ce qui revient au même, en éliminant a entre les deux équations

.r bljfr — a] r(.r — a)"|

on parviendra à une équation entre j' — et z ^> de la forme

(y 3c z x\ bac a]

qui n'est autre chose que Téquation (3).

On peut encore écrire les équations de la directrice sous la forme

et alors les équations de la génératrice deviennent

et rélimination de a, entre ces deux équations donne, comme plus

haut, une relation entre 4 — -et -•

On pourrait encore, au moyen des calculs du n® 1025, résoudre

le problème de faire passer une surface cylindrique parallèle à la

droite (4) par une courbe directrice donnée

/(•«'» Xy -) ~ 0> F(x, X> 2) = O.

Entre ces équations et les équations de la génératrice

éliminons x, y^ z. Nous obtiendrons une relation entre a et P, qui

8UEFAGE8 CYLINDRIQUES. l5g

fera connaître la fonction (f qu'il faudra substituer dans l'équation (3) de la surface cylindrique.

Pour trouver le cylindre parallèle à une droite donnée (4) ^^ circonscrit à une surface donnée

on cherchera les points de la surface pour lesquels le plan tangent est parallèle à la droite (5), ce qui donne, à cause de

la condition

Cette condition, jointe àTéquation de la surface, déterminera une courbe directrice de la surface cylindrique, et Ton sera ramené alors au cas que nous venons de traiter.

10217. Étant donnée Téquation d'une surface

on propose de reconnaître si cette surface est cylindrique.

Il faut pour cela qu'en tirant de cette équation les valeurs de p et de ^, et les portant dans l'équation (6), qui devient

.8) aF'(x)-hbr{x)^¥'(z]=:o,

on puisse déterminer a et & de telle manière que cette condition ait lieu pour tous les points de la surface. Si cette surface est algébrique, l'équation (8), étant de degré inférieur à (7), ne pourra subsister en tout point de la surface que si elle est identique. En identifiant donc le premier membre de (8) à zéro, puis éliminant a et b entre les équations obtenues, on aura les équations de condition qui devront avoir lieu entre les coefficients de l'équation (7) pour que celle-ci représente un cylindre.

Si l'on suppose, par exemple, que l'équation (7) soit l'équation du second degré

Ajc* -4-A'^* -h A" z^ -^ hB j-z -h^B'za: -\- t.B" xy

-f-2Cx-h 2C'r + 2C"z+D — o,

l6o LIVRE V. — GHAP. II, § II.

en exprimant que la condition (8) a lieu identiquement, on aura

les équations

En écrivant que ces équations sont compatibles trois à trois, on aura les conditions suivantes, dont deux quelconques 'sont des conséquences des deux autres :

zzro, $i=-

Les quantités d, i^f à^y ^z sont les déterminants mineurs du discriminant A de Téquation du second degré, et, par suite, ce discriminant s'annule lui-même. Ces équations sont celles que Ton obtiendrait en écrivant que les expressions des trois coordonnées

du centre de la surface se présentent sous la forme - 1028. II. Surfaces coniques. — Soient

(l) or — a=a(3 — c), y — bz=: ^[z^ c]

les équations de la génératrice, a, &, c étant les coordonnées constantes du sommet, et a, p des paramètres variables. Pour que la génératrice décrive une surface, il faudra [1025] qu'il existe entre a et |3 une relation quelconque

Alors les équations de la génératrice deviendront

En éliminant a entre ces équations, on a Téquation générale des

SURFACES CONIQUES. l6l

surfaces coniques de sommet (a, b^ c),

ce qui exprime une relation homogène quelconque entre x — a, y — by z — c.

En difTérentiant Téquation (4) successivement par rapport à j:

et kj-j et éliminant a>' ( j» on a Téquation aux dérivées partielles des surfaces coniques de sommet (a, b, c),

(5) z-^c = p[x^a]-hq[y-' b)f

équation qui exprime que le plan tangent en un point quelconque de la surface conique passe toujours par le point (a, by c).

Nous verrions y absolument comme dans le cas des surfaces cylindriques, comment on peut déterminer un cône de sommet donné, passant par une courbe directrice donnée, ou circonscrit à une surface donnée.

Pour reconnaître si une équation donnée

(6; Y[,TyXyZ] = 0

représente un cône, transportons d^abord Torigine au sommet inconnu (a, by c), en posant

L'équation (5); qui devient

exprime que z' est une fonction homogène du premier degré de x' et de j^'. Donc le transport de Torigine au point (a, i, c) doit changer la relation F(a:'4-«, j^'+i, 2'4-c) = o en une équation homogène entre x', j\ z'. Il faut donc que Ton puisse, en choisissant convenablement a, by c, faire disparaître tous les termes de Téquation autres que ceux du degré le plus élevé.

Si Téquation est du second degré, elle devient , en désignant par ^i{xyjy z) Tensemble des termes du second degré,

F,!^',^, ^)4-x'F'(a)-f./F(ô)-h2'F(c)-hF(a, ^,c)=o. H. — Cours de Cale, infin,, \\\, 1 1

l6a LIVRE V. — CHAP. II, § II.

Il faut donc, pour que cette surface soit un cône, que Ton ait r{a) = o, r{b)=zo, F(c)=o, F[a,b,c) = o.

Donc d^abord a, &, c sont les coordonnées du centre, et le discriminant i des termes du second degré ne doit pas être nul. Ensuite, par la substitution des valeurs ainsi trouvées de a, &, c, F(a, &, c)

devient égal à j» A étant le discriminant de la fonction F. Donc

les conditions pour que F[x, ^, z) = o représente un cône sont

â dîfiërent de zéro, A = o.

On peut encore présenter le calcul autrement, en se servant de Téquation aux dérivées partielles (5). Si F(j:, j", z) = o est l'équation de la surface conique, Téquation (5) pourra s'écrire sous la forme

En supposant maintenant que F( x, 7^, z) soit un polynôme entier, et désignant par F^ l'ensemble des termes du degré k, cette équation pourra [644] être remplacée par la suivante,

m étant le degré de Téquation F= o. Cette relation, étant de degré inférieur au degré de la surface et devant avoir lieu en chaque point, ne pourra être qu'une identité. Donc la surface sera un cône si l'on peut déterminer a, &, c de manière que le premier membre de l'équation (7) s'évanouisse identiquement. En appliquant cette méthode aux surfaces du second degré, on retrouve les mêmes résultats que ci-dessus.

1029. III. Surfaces conoïdes. — On entend par surface conoïde une surface engendrée par une droite qui se meut en s'appuyant constamment sur une droite fixe {^directrice) et en restant parallèle à un plan fixe [plan directeur). Soient

les équations de la directrice, et

(2) Ix-j- m^ -h nz = o

SUaPACBS CONOÏDES. i63

celle du plan directeur. Les équations de la génératrice seront de la forme

a et |3 étant soumis à la condition de parallélisme de la génératrice avec le'plan (2),

(4) /«4-/7iP-H/i = o.

En éliminant, au moyen des équations (1) et (2), les trois paramètres variables ^yiOf^y il en reste deux, ^ et oc, indépendants entre eux, et entre lesquels on doit établir, par conséquent, une relation

Or, des équations (3), qui deviennent, par l'élimination de ^ et de riy

X — AÇ-az=«(3~Ç), j — BÇ— 6 = p(« — Ç),

ou, en posante — a — Az = X, y — b — Bz = Y,

on tire, en ayant égard à l'équation (4) et faisant A /h- Bm-hn = k,

X Y /X-+-/nY

Donc

/X -h m Y 4- X*3 l{x — a)'hm(x — l) -h nz

Mais î[, devant être une fonction de a, peut aussi être considéré

comme étant une fonction de ou une fonction de — •

On pourra donc remplacer Téquation (5) par l'équation équivalente

(6) /(.r — a) + /n(7 — 6)4-/iz = xf — j>

qui est l'équation générale des surfaces conoïdes.

l64 LIVRE V. — CHAP. II, § II.

En la différentiant tour à tour par rapport à a: et ky^ on en tirç l-.p=^{^^ [A(r-^)-B(.-.)]p-Y^

d'où l'on obtient, pour l'équation aux dérivées partielles des surfaces conoïdes,

(7) [w(AY— BX)H-/iX]/? — [/(AY — BX) — /iY](7 = /X-t-mT.

1030. On peut encore se représenter la surface conoïde comme engendrée par l'intersection d'un plan parallèle au plan directeur (2),

Ix -f- my -r- nz =: $,

avec un plan passant par la directrice (i),

X — b — B« = >(x — a — Az), ou Y=r^X.

En établissant entre les paramètres X et 0 une liaison 6 = i|/(X), on aura, par l'élimination de ces paramètres, l'équation de la surface

(8) /j7-+-mj4-/ïz=r'}f — J ï

qui n'est autre chose que l'équation (6), dans laquelle on aurait négligé, comme on le peut évidemment, la partie constante — la — mb du premier membre.

L'équation aux dérivées partielles (7) peut s'obtenir directement. La génératrice étant contenue à la fois dans le plan tangent à la surface, «

(a) Ç — 2=ir/?(Ç — x)-+-g(>j — r),

et dans un plan mené par le point (x,^, z) parallèlement au plan directeur,

et cette intersection devant rencontrer la droite (i), il faudra que les quatre équations (i), (a), (b) subsistent en même temps. L'élimination de ^, y), f entre ces équations conduit à l'équation (7).

SURFACES CONOÏDBS. l65

1031. Supposons, pour plus de simplicité, que l'on ait pris la directrice (i) pour axe des z^ et le plan directeur (2) pour plan des x^. Alors les quantités A, B, a, b^ /, m seront toutes nulles; les équations de la génératrice pourront se mettre sous la forme

avec la condition

ou, en éliminant f et ^y

En éliminant la fonction arbitraire cp, on a Téquation aux dérivées partielles

(10) px-\- qyz^o^

qui exprime que z doit être une fonction homogène du degré zéro dex et de^.

Géométriquement, Téquation (10) fait voir que Téquation du plan tangent

est vérifiée en posant

c*est-à-dire que ce plan contient une horizontale menée par le point de contact et rencontrant Taxe des z.

Si Ton veut faire passer la surface (9) par une courbe directrice dont les équations soient

/(x, y, z) = o, F(x, jr, z) = o,

éliminons x, j^, z entre ces deux équations et celles de la génératrice, ou, ce qui est la même chose, éliminons x entre les deux

équations

/(^, yx, Ç) = o, F(x, yx, Ç) = o.

On obtiendra ainsi une relation entre y et Ç, qui fera connaître la forme de la fonction <f que Ton devra substituer dans Téquation (9) de la surface.

l66 LIVRE V. — CHAP. II, § II.

1032. Exemples. — i° La directrice est une droite

En éliminant x entre les deux équations

il vient

d'où, en mettant pour y et Ç leurs valeurs ~> z,

X gz-h n ou

équation d'un paraboloïde hyperbolique.

2^ La directrice est une ellipse dont le plan est vertical et qui a pour équations

On a ici ^ == — ) et, par suite, la relation entre 7 et (* sera

ce qui donne, pour Téquation de la surface cherchée,

Cette surface est connue sous le nom de voûte d'arête en toiir

ronde, et l'ellipse directrice porte le nom de cintre.

Si l'on pose

a* X-" ac hk

-=-, ou /• = -, «=-,

la section de la surface par le plan a: = Ar sera un cercle que l'on pourra prendre pour cintre à la place de l'ellipse donnée, et l'équa-

8UBFACES GONOÏDES. 167

lion de la surface deviendra alors

3** Prenons pour directrice ThéHce

x=za cos T > r = a sin T • b 0

En faisant^ = y x, z = ^, il vient

7 = tang-;

on a donc, pour Téquation de Thélicoïde gauche,

-=tang-.

1033. IV. Surfaces de ré%foltUion, — Une surface de révolution peut être considérée comme engendrée par un cercle dont le plan se meut parallèlement à lui-même, tandis que le centre se meut sur une droite perpendiculaire à ce plan, et que le rayon varie de manière que la circonférence s'appuie constamment sur une courbe donnée. Le cercle variable s'appelle un parallèle de la surface ; la droite lieu des centres est Vaxe de révolution, et la courbe directrice, lorsqu'elle est située dans un plan passant par Taxe de révolution, prend le nom de courbe méridienne ou de méridien.

Soient

(i) j: = Az-4-a, y =i'Bz-\' b

les équations de l'axe de révolution. Le cercle générateur sera donné par l'intersection d'un plan mobile perpendiculaire à l'axe,

(2) Ax 4- Bj^ -+-3= a,

avec une sphère ayant pour centre un point de l'axe, le point (a, by 0) par exemple, et un rayon variable,

Il doit exister, de plus, entre les deux paramètres a, ^^, une

lC8 LIVRE V. — CHAP. II, § II.

relation

de sorte que les équations du cercle générateur seront

En éliminant a entre ces deux équations, on aura, pour Téquation générale des surfaces de révolution autour de l'axe donné (i),

(5) (x — aY -h (^ — ^>)« -f- 3* = y ( Aj: -f- Bj -f- z).

Si l'axe de révolution est pris pour axe des z, alors, A, B, a, b étant nuls, l'équation (5) se réduit à

que l'on peut écrire plus simplement

(6) x"-i-/* = X(z), ou Z=:jf[x^-hjr^).

1034. Si l'on élimine de l'équation (5) la fonction arbitraire <p, on trouvera, en procédant par la méthode générale,

(?) (y — b — 'Bz)p — [x — a — Az)q = 'B[x ^ a) -^ A(x — b).

Cette équation s'obtiendrait directement en écrivant que la normale à la surface ,

Ç — j:-f-/?(Ç — z)i=:0, ïj— 7-f-<7(Ç — z)=o, rencontre constamment l'axe de révolution

ce qui a lieu évidemment pour toute surface de révolution. Et réciproquement, en raisonnant comme au n^ 1020, on verrait que cette propriété peut servir de définition aux surfaces de révolution, qui sont les seules surfaces dans lesquelles la normale rencontre constamment une droite fixe.

Si l'axe de révolution est pris pour axe des z, l'équation (7) se réduit à

(8) py—qx = o, ou ^ = ^-

SDEFACES DE RÉVOLUTION. 169

1035. Supposons que l'on donne les équations

(9) /(*>/» «) = o» ^[^fJ'^z] = o

de la courbe directrice ou méridienne. Entre les équations (2), (3) et (9) on éliminera Xy y^ z, et Ton aura ainsi la forme de la relation (4) entre a et|3^, qui déterminera Téquation (5) de la surface cherchée.

Si Taxe de révolution est pris pour axe des Zj et que x = f (z) soit Téquation de la courbe méridienne, Téquation de la surface sera

Exemple. — Supposons que Ton ait pris pour directrice la

droite

X •=. mx H- fA, y z=: nx -4- v.

Les équations (2) et (3) donneront

(Am -+- B/iH- 1)* -h Au H- Bv = «,

[mz -f- fjt — «)•-!- (/îz -hv — 6)«-hz' = ;3*,

d'où, en éliminant z,

^ ' \A/ii4-B/H-i/

-7[m(^-a) + /i(v-/>)] Aft + Bv-« ^^ ^,^^^^^.^p,^

Remplaçant maintenant a et (3^ par les expressions (a) et (3), on a, pour l'équation de la surface cherchée.

équation du second degré qui est celle de l'hyperboloïde gauche de révolution. Si l'axe de révolution est pris pour axe des z, elle

se réduit à

x^ -h y* = [mz -h it)* -\- («zH-v)".

1036. Étant donnée l'équation d'une surface

pour savoir si elle est de révolution, on verra si, pour des valeurs convenables de A, B, a, b, Téquation (7), mise sous la forme

[x — b — Bz) F'{x) (x — a — Az) F'( j)

se vérifie identiquement, soit par elle-même, soit en ayant égard à l'équation de la surface.

Si l'on applique cette méthode à l'équation du second degré [1027], on trouve qu'entre les coefficients des termes du second degré on doit avoir, en général, les relations