I - a/? = [z -4- î»' (a)] ^, - (ma -h n)p = [mz
— «y = [z -f- f (a)] ^, I — (ma -t- /i)^ nr [mz -H / (a)] —,
d'où l'on tire, par division.
dx I — «/> — [ma ■+■ n)p
do. — «.q I — (ma-+-/j)ç
Ces égalités donnent d'abord
d'où
I — nq m-hno
«= —9 maH-/ï= —y
p -h mq p -4- mq
et, par suite, les égalités (5) peuvent s'écrire sous la forme
dx I — fnp (lîia-hw)y m -h np
^'' ôa. — aq — ay nq — i
Pour éliminer maintenant la fonction arbitraire qui entre encore implicitement par a dans Téquation (6), différentions cette équation par rapport à a: et à ^^ ce qui donne, en désignant, selon l'usage, par r, s, t les dérivées partielles du second ordre de z^
ar 4- (iwa 4- /i)5 = — (/? -h /wy ) -r- >
oLS 4- (ma4-/i)r=— (/^-*- '"7) ^»
d*où Ton tire, par division, en ayant égard aux équations (7), et mettant pour a et ma, -4- n leurs valeurs en p et ^,
(1 — nq]r -\- [m -{- np]s m -\- np
(i — nq)s -{- [m -^ np)t 1 — nq '
OU enfin, en mettant pour m etn leurs valeurs, et réduisant,
Si Ton suppose que Ton ait pris l'axe des z parallèle au plan directeur, on a alors C = o, et l'équation précédente devient une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre, à coeflicients constants,
(9) B*r— 2AB5-f-A*r=:o.
1039. On peut diriger le calcul autrement, de manière à obtenir l'équation générale de la surface sous forme finie. On considérera la génératrice comme déterminée par l'intersection d'un plan parallèle au plan directeur,
(10) Ax-hBj-'hCz^O^
avec un plan mené par l'origine des coordonnées,
(il) z = 'kX'i- iLjr,
les trois paramètres d, X, fi devant être liés par deux relations, telles que
(12) i = u{e], ii = n(9).
L'élimination de 0, X, fx entre ces quatre équations donne immé-
8URPACE8 REGLEES A PLAT9 DIRECTEUR. IjS
diatement Téqnation de la surface
(i3) z = Xîa(Ax -^ Bx -h Cz) -^j-nfAor -4- Bf-^Cz).
Pour éliminer les fonctions arbitraires, laissons, pour abréger, la lettre 6 au lieu de Ax 4- Bj- -\- Cz. On a
d'où
dx ___ A + C/> __/? — ct(ô) __ A-I-Cct(^)
'W "" B + C^ ~ y — nje) "" B + cn(ôj dx
DiflTérentiant de nouveau cette dernière équation par rapport à X et kj% on a
[B-4-Cn(ô)]r— [A-f-CcT(0)]5
[B -|-Cn(9)]« — [A + CGr(9)]/
= [(B + Cî)rr'(fl) - (A + Cp)n'(fl)] ^^
d'où, d'après les égalités (i4)>
[B-hCn(g)]r^[A-4~Cp(e)]j [BH-Cn(0)]»f — [A-+-CcT(0)Jr
^ A-4-C/? {B-\-Cq]r—{A-hCp)s ~ "W — B-+-Cy "~ (B-^Cq}s^[A-{-Cp]t ■
En développant, on retrouve ainsi l'équation aux dérivées partielles ( 8 ) .
10 iO. On peut obtenir directement l'équation (8) par des considérations géométriques, en exprimant :
1^ Que si, par un point quelconque de la surface, on mène une génératrice et un plan tangent
la génératrice sera l'intersection du plan tangent avec un plan mené par {Xjyj z) parallèlement au plan directeur
de sorte que (i3) et (i6) sont les équations de la génératrice;
2** Que le point {Xjy, z) de la surface étant un point quelconque de la génératrice considérée, celle-ci ne changera pas si Ton mène le plan tangent (i5) par un point [x -^ dx^ y -h dy, z -{-dz), situé sur cette même génératrice. Donc, si dx^ dj, dz sont tels que les équations (i5) et (i6) soient vérifiées en posant
c'est-à-dire si Ton a
(17) pdx -h qdjr =L dz^
(18) kda:^'Rdy + Cdz=zo,
les équations (i5) et (16) subsisteront pour les mêmes valeurs de 5, yj, ^, lorsqu'on y changera x^y^z enx-h dx, y 4- dy, z •+- dz^ c'est-à-dire qu'elles subsisteront en même temps que leurs différentielles prises par rapport à x^y^ z,p^ q.
La différentielle de (i5) devient, en vertu de (17),
(19) [l — x]dp ^ [ri — y]dq — o-,
la différentielle de (16) est précisément l'équation (18). Or, on tire des équations (i 5) et (16)
et, en vertu de ces proportions, l'équation (19) devient
(B -*- Cq)dp — (A -h Cp]dq = O.
En mettant cette dernière équation et l'équation (18) sous la
