SURFACES RÉGLÉES A PLAN DIRECTEUR

forme

[(B-+-C7)r — (A-f-C^)*]^ 4-[(B-f-C9)f-- [A -^Cp)t]dx =no,

{A-hCp)dx-i- {B-^Cq)djr=o^

dy et éliminant entre celles-ci le rapport —-? on obtient l'équation (8).

1041. On peut encore trouver directement des équations aux dérivées partielles du premier ordre, contenant chacune une fonction arbitraire, et qui seront des intégrales premières par rapport à Téquation du second ordre (8).

En effet, si le plan (i6), parallèle au plan directeur, reste le même, c'est-à-dire si le point de contact {^x^y^ z) se déplace de manière que la quantité Ô = Ax-j- Bj^4- G^ reste constante, l'intersection du plan (i6) avec le plan tangent (i5), représentée par les équations (20), restera constante; au contraire, cette intersection variera avec 0. Donc les trois rapports

Ary — B^ Ay— B/? B + C<7

dont deux quelconques déterminent cette intersection, seront constants ou variables en même temps que d, et, par suite, chacun de ces rapports est une fonction de 6. On a donc les trois équations

=:y(Ax-f-B7 -+-Cs),

Kq — Bp

B-hCq Aq — hp'"

x(Ax-f-Bj-hCz),

dont une quelconque est la conséquence des deux autres.

Chacune de ces équations, par l'élimination de la fonction arbitraire, reproduira l'équation (8). Si nous prenons, par exemple, la dernière,

A-^Cp=:{B-i-Cq)^[e),

on en tire, en difTérenliant,

C[r-,^{9)] = {B + Cg)f(e)^,

d'où, en éliminant v[;'(S) par division, et remplaçant ^{0) par

A-^Cp . dO âO , , ., .

- — — -î puis -T-î -r- par leurs valeurs, il vient

(B-4-Cy)r— (A + B/?)j A-^-Cp (B + Cy)^— (A4-B/?)r ~~ B-t-Cy'

c'est-à-dire Téquation (8).

1042. VI. Surfaces réglées à droite directrice. — Si Ton représente par

(i) x=i Az -\- ay ^=B3-4-^

les équations de la droite fixe sur laquelle doit constamment s'appuyer la génératrice, celle-ci sera l'intersection d'un plan quelconque passant par la droite (i) avec un plan perpendiculaire au plan des zx. On peut donc représenter cette génératrice par l'ensemble des deux équations

(2) a[,r — Az — a)=zjr — Bz — b, zrrrjSjc-f-y,

auxquelles il faut joindre deux équations de liaison entre les trois paramètres a, |3, y :

En éliminant a, jS, y entre ces quatre équations, on trouve, pour l'équation de la surface,

^^ ^\x — As — a/ ^\x — A.z — a)

Eliminons maintenant les fonctions arbitraires y et ;f. Si on laisse, pour abréger, a au lieu de sa valeur, on a, en difTérentiant,

8DEFAGE8 RÉGLésS A DROITE DIRECTRICE. I77

d'où l'on tire

(51 LUli^ — ÉfL .

q dot.

Or, en posant, pour abréger, x — A^ — a = X, j — B-s — i = Y, on a

da —X.B/? — Y(i — Ap) da X(i — B^)-hY.A^ dx"" X* ' dy" X* •

d'où, à cause de a = — »

dx (A« — B)p — «

Mettant cette valeur dans l'équation (5), celle-ci devient

;6) p + [« - (Aa - B) y(cc)] q - y(cc) = O.

Différentiant maintenant cette équation par rapport à x et à j,

j. . . .. ^ du. doL ,

on en tire par division, en mettant pour j~ * ^ sa valeur,

[(Aa--B)<7H--i]r — [(A«~B) /?•—«] j __ (A«>-B)/? — a [( Aa — B)</ 4- i]f — [( Aa — B)p — «] f "" ( A« — Bj'^ 4- i '

ou, en posant

( A« - B) ;> — « [k{x >- ^) - B (jr — g)]/; — ( ^ - Bg — ^) P (Aa — B)çH-i [A(j^— ^) — B(x — a)]5P-+-x — A« — a "" Q

(7) Q*r— tiPQf 4-P«r=:o,

équation aux dérivées partielles de la famille de surfaces considérée.

Si Ton prend la directrice (i) pour axe des z, alors

A = B = tf = ô = o, P =—j^, Q = «îc> et l'équation (7) devient

(8) a:'r+ 2arjf 4-/"r=0.

H. — Cowri de Cale, infinit,, III. 12