SUBPAGB8 RÉGLÉES A DROITE DIRECTRICE. I
lenr sont proportionnelles en vertu de (i4)> et adoptant les notations du numéro précédent,
Eliminant de même dz de (i3) au moyen de (12), on trouvera
Développant les valeurs de dp, dq, et éliminant entre ces deux
dx
dy équations le rapport -7-» on retrouve Téquation (7).
1044. £nfin on peut obtenir des équations aux dérivées partielles du premier ordre, avec une fonction arbitraire, qui seront des intégrales premières de l'équation (7).
En effet, les équations de la génératrice (9) et (11) peuvent, en éliminant tour à tour ^ — z et y} — y^ se mettre sous la forme
ou, ce qui revient au même,
^^X+?Y /'X + gY Ç- ô «"^^ Q •^'
Si l'on coupe toujours la surface par le même plan aX — Y = o,
c'est-à-dire si le rapport a = ^ reste constant, la génératrice devra
rester constante, et par suite aussi les coefficients qui la déterminent,
et cette génératrice et ces coefficients varieront seulement avec^a.
l8o LIVEB V. — CHAP. II, § II.
Donc on devra avoir les quatre équations
La première de ces équations peut s*écrire
et Ton voit que ce n^est autre chose que Téquation (6) du n^ 1042. La seconde est équivalente à celle que Ton obtiendrait en éliminant f (0e) entre les équations (4) et (6). Ensuite Téquation (5) peut s'écrire
ce qui donne, en remplaçant le premier membre par sa valeur tirée
' de (6),
et cela montre que la troisième équation est une conséquence de la première. Enfin, à cause dej^ = Y-h B^ -h i = aX -f- Bz -+- i,
on a
jH-— x=:a(j: — Aï — «)4-Bs-l-^ — [oc — (A a — B)y(«)]x
= — (Aa — B)[3 — xy(a)] — aa-4- ^* = — (Aa— B)x(a) — «a-4-^,
ce qui fait voir que la quatrième équation est une conséquence de la deuxième.
Si Ton prend la directrice fixe pour axe des Zj ces équations deviennent
1045. Comme exemple d'une surface appartenant à cette famille, nous citerons le biais passé, engendré par une droite s'appuyant sur deux cercles verticaux, dont les diamètres sont deux droites
SURFACES REGLEES A DROITE DIRECTRICE. l8l
égales et parallèles situées dans le plan horizontal, et sur une droite perpendiculaire à ces deux diamètres et passant par le centre du paraUélogramme dont ces diamètres sont les côtés opposés.
Si Ton choisit cette droite horizontale pour axe des z, les équations de la génératrice seront, en prenant Taxe des x équidistant des deux cercles,
et celles des deux cercles directeurs,
Éliminant Xjj'y z entre les équations (i) et (a), puis entre les équations (i) et (3), on a les deux relations
d'où Ton tire, par soustraction,
Cette équation admet d'abord la solution 7=0, qui donnerait ^ = — « et, par suite. Tune ou Tautre des équations (4) deviendrait
équation d'un cône ayant pour sommet le centre du paraUélogramme et pour sections circulaires les deux cercles donnés. Mais ce cône ne satisferait pas à la condition qu'exige la construction d'une voûte s'appuyant sur les deux demi-cercles supérieurs. Prenant donc l'autre solution de l'équation (5),
on tire de l'équation obtenue par Tadiitlon des équations (4)? la valeur
l8a LIVEE V. » GBAP. II, § lU
Substituant dans la seconde équation (i) les valeurs de ^, y et celle de a = - 9 on a, pour l'équation de la surface cherchée,
1046. VIL Surfaces développables. — On appelle surface désfeloppable une surface engendrée par le mouvement d'une droite dont deux positions consécutives se coupent (ou, plus exactement, ont une distance infiniment petite d'ordre supérieur au second [630]). Le Heu des intersections successives de cette génératrice est une courbe à laquelle toutes les positions de la génératrice sont tangentes, et que l'on nomme Varéte de rebroussement de la surface.
Soient
les équations de cette courbe. Celles de la génératrice seront
DifTérentiant ces deux équations par rapport à x, puis par rapport àj^, il vient, eu égard à ce que — = ^'(y), -j- = x'(7)'
j -i'z'(v) = z''(7)(»-7)J» i-9Z'{7)=x'(7){«-7)^' On tire de là, par division,
L*élimination de y entre ces deux équations conduit à une relation entre p et Çy de la forme
rs étant une fonction dépendante des fonctions arbitraires (f et ;(. En dijflférentiant cette équation (4) par rapport àx et à ^, et
SURFACES DéVELOPFABLBS. l93
éliminant Ts'(p)i on a, pour Téquation générale aux dérivées partielles du second ordre, des surfaces développables
1047. Autrement, on peut obtenir directement Féquation aux dérivées partielles du premier ordre (4). En effet, deux génératrices consécutives sont dans un même plan, tangent à la surface le long d'une de ces génératrices. Si donc le point {jc, j-^ z) se déplace le long d'une génératrice, les coefficients de Téquation du plan tangent
K —pi -^-qiQ'hz—'pjC'^qjr,
savoir
P^ q, z — px — qy^
resteront tous les trois constants. Remarquons d'ailleurs que, si dp et dq sont nuls, d(z — px — qj^ est aussi nul, et par suite la constance des deux premiers coefficients entraine celle du troisième. De plus, si q variait, par exemple, sans que p variât, la trace du plan tangent sur le plan des zx se déplacerait parallèlement à elle-même, et par suite, le plan tangent se mouvant parallèlement à une droite fixe, la surface serait un cylindre [1025]. En excluant ce cas, on voit que p et, par suite, z — px — qy doivent varier avec q. Donc deux quelconques de ces quantités sont fonctions delà troisième, ce qui donne d'abord l'équation (4)} puis les deux équations équivalentes
1048. On peut trouver aussi de la même manière l'équation du second ordre (5). Si pet ^ sont constants ensemble pour la valeur
de ~ qui répond à la génératrice, cette valeur devra donner à la fois
dp r=zOf dq =zo^
c'est-à-dire
^r dy
r-hf-J^ = o, 5-»-r-~ = o,
ax ax
d'où Ton tire l'équation (5).
l84 LIVRE V. — GHAP. II, § II.
1049. VIII. Surf Mes réglées. — Les équations de la génératrice d'une surface réglée quelconque sont de la forme
(l) x = OLZ'\rP, ^ = 7^4-^,
les quatre paramètres a, p, y, i étant liés entre eux par trois relations arbitraires, telles que
Pour éliminer ces fonctions arbitraires , différentions les équations (i)par rapport à x et à ^, en faisant, pour abréger,
-£ =i &' etc. Nous aurons ainsi
/ /il \ an , , -, » Ofx.
d'où
dx I — />« — ^7 y
dei — qtt I — qy «
et par suite
Différentiant maintenant cette dernière équation, on a
,a-{-r7+(/i-hg/)^=o, d'où, en divisant, et remplaçant le rapport v- 1 -p par sa valeur — -
roL
îl=—l
sa-{- ty ce
c'est-à-dire
(4) ra*-h îJay-f- /y* = 0.
Différentiant enfin une troisième fois, et désignant, avec Monge,
«UaFACBS RÉGLÉES. l85
par UyiUf Wjif les quatre dérivées partielles du troisième ordre
on trouvera de la même manière Téquation
(5) i£«'-h 3M/a*7 -f- Sway^H- <'7' = o.
Éliminant entre les équations (4) et (5) le rapport -» on a, pour Téquation générale aux dérivées partielles des surfaces réglées.
r :ts i o o
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DES SURFACES ElfVELOPFES. FORMATION DBS ÉQUATIONS AUX
