DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE NON LINÉAIRES

lOSO. L'enveloppe d'une surface

(l) F(ar,^, 3, «)=0,

dont Téquation renferme un paramètre arbitraire oLj s^obtient [1008] en éliminant a entre Téquation (i) et sa dérivée par rapport à a

dF

aa

L*ensemble des équations (i) et (a) représente la courbe d'intersection de deux enveloppées consécutives; cette courbe, qui peut être considérée comme la génératrice de l'enveloppe, porte le nom de caractéristique de l'enveloppe.

Le lieu des intersections successives de la caractéristique, que l'on obtient enjoignant aux équations (i) et (2) la dérivée seconde

da>

se nomme V arête de rebroussement de l'enveloppe.

l86 LIVBB V. — GHAP. II, $ III.

1051. Considérons maintenant une équation à deux paramètres arbitraires

^ (4) F(;p,ri2,«.i3) = o.

Si y entre cette équation et ses deux dérivées partielles par rapport à X et ky-j

on élimine les paramètres a et p, on obtiendra une équation aux dérivées partielles du premier ordre, non linéaire en général,

qui représentera une propriété commune à toutes les surfaces de la double série représentée par l'équation (4)*

Par exemple, si Ton donne Téquation générale des sphères de rayon donné R, ayant leur centre dans le plan des xy,

il) (x-cc)«-f-(r-p)*-Hz« = R«,

on a, en différentiant par rapport kx et ky,

d'où, en éliminant a et |3,

équation aux dérivées partielles qui exprime que, dans toutes les sphères (7), la longueur de la normale, comprise entre le point de la surface et le plan des xj^ est constamment égale à R.

1052. Parmi toutes les surfaces qui satisfont à l'équation (4) ^^ par suite aussi à l'équation (6), on peut choisir celles dans lesquelles a et ^ sont liés par une relation arbitraire

Ces surfaces, dont l'équation générale devient

ne contiennent plus qu'un seul paramètre arbitraire a, et auront une

éQUATIONS AUX DBEITÉES PARTIELLES NON LINÉAIRES. 187

enveloppe, que Ton obtiendra [1050] en éliminant a entre l'équation (lo) et sa dérivée par rapport à a,

D'après l'équation {ii)ycc devient une fonction des coordonnées, que l'on devra substituer à la constante dans l'équation (lo). Or, si Ton différentie l'équation (4) ou (lo) par rapport à x et à ^, en y considérant a et par suite aussi |3 comme des variables déterminées

par les équations (ii) et (9), les termes en ^ et ^ provenant de

la variation de a disparaîtront en vertu de l'équation (i i), de sorte que les équations dérivées

prendront la même forme que si a et /3 étaient des constantes, comme au n^ 1051 . Donc l'élimination de a et de |3 entre les trois équations F = oet(ia) conduira à la même équation (6) que si a et |3 étaient des paramètres constants.

Donc l'équation aux dérivées partielles (6) convient à l'enveloppe de la catégorie de surfaces déterminée par Téquation (4)1 dans laquelle on assujettit a et ^ à une relation arbitraire (9). Donc Féquation (6) admet pour intégrale non-seulement l'équation (4)y renfermant deux constantes arbitraires, mais encore l'équation résultant de l'élimination de a entre les équations (10) et (11), équation qui dépend delà détermination de la fonction arbitraire f .

1053. On voit que, lorsque l'on connaît l'intégrale (4)} avec deux constantes arbitraires, que l'on nomme V intégrale complète de l'équation (6), il est aisé d'obtenir l'intégrale représentée par l'ensemble des équations (10) et (11), et que l'on appelle V intégrale générale, renfermant une fonction arbitraire qui peut amener une infinité de constantes arbitraires. Il suffit pour cela de considérer l'une des arbitraires ^ comme une fonction de l'autre a, et d'éliminer a entre l'équation ( 4 ) ou ( i o ) et sa dérivée (11) par rapport à a.

L'ensemble des équations (îo) et (11) représente la caractéristique de l'enveloppe déterminée par l'intégrale générale.

l88 LIVRE V. — CHAP. II, § III.

Si, au lieu de Tintégrale complète, on connaissait Tintégrale générale , on pourrait en déduire , réciproquement , Tintégrale complète, et cela sous une infinité de formes différentes. Il suffirait, pour cela, de particulariser d'une manière quelconque la fonction arbitraire f (oc), de façon qu'elle renfermât deux constantes arbitraires, et d'éliminer ensuite a entre les équations (lo) et (ii) ainsi obtenues.

1054. Par exemple, si dans l'équation (7) on pose p = 9(a), l'enveloppe de la sphère mobile dont le centre décrit la courbe ^ = f (a) sera représentée par l'ensemble des équations

d'où l'on éliminerait a. Cette enveloppe porte le nom de surfacecanal. Elle jouit, aussi bien que les sphères enveloppées, de la propriété, exprimée par l'équation aux dérivées partielles (8), que la longueur de la normale est constamment égale à R.

De l'intégrale générale (i3) on tire la solution complète (7) en prenant Gp(a) = |3 et a pour constantes. On en trouvera une autre en posant f (a) = /la -h i^, aet i^ étant des constantes, et éliminant OL entre les équations

X — a -J- (^ — aoL — 6) a = o, ce qui donne l'équation d'un cylindre

qui a également pour enveloppe une surface-canal, et dont l'équation conduit encore, par l'élimination des constantes a et 6, à la même équation aux dérivées partielles (8).

1055. L'équation aux dérivées partielles (6) est encore vérifiée par l'équation que l'on obtient en éliminant les deux constantes a et P entre l'équation (4) et ses dérivées partielles par rapport à ces deux constantes