ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES NON LINÉAIRES

qui entraînent Téquatlon (i i). La relation ainsi trouvée ne contient plus ni constante ni fonction arbitraire. Elle représente une surface tangente à la fois à toutes les surfaces représentées tant par rintégrale complète que par l'intégrale générale. On l'appelle la solution singulière de l'équation (6).

Ainsi, si l'on élimine a et ^ entre l'équation (7) et ses deux dérivées partielles par rapport à a et à ^

X — a = o, / — |3 = o, on a l'équation

qui représente deux plans tangents à la fois à toutes les sphères (7), à toutes les surfaces-canaux (iS), à tous les cylindres (i3)^ et qui est la solution singulière de l'équation (8).

1056. Ainsi l'équation aux dérivées partielles du premier ordre non linéaire (6) est susceptible de trois sortes de solutions; elle admet :

i^ Une solution renfermant deux constantes arbitraires et correspondant aux enveloppées individuelles. C'est Vintégrale comr plète.

2® Une solution dépendant d'une fonction arbitraire, solution qui se déduit de l'intégrale complète, en établissant entre les deux constantes arbitraires de celle-ci une relation arbitraire, et éliminant ces constantes entre cette relation arbitraire, l'équation proposée et la dérivée de cette dernière prise par rapport à l'une des constantes, dont l'autre est une fonction. C'est Vintégrale générale, représentant, pour chaque détermination de la relation arbitraire, l'enveloppe de la série de surfaces correspondante, représentée par l'intégrale complète.

3^ Une solution ne renfermant plus ni constante ni fonction arbitraire, et représentant une surface tan^nte à toutes les enveloppées données par l'intégrale complète et à toutes les enveloppes données par l'intégrale générale. C'est la solution singulière, qui se tire de l'intégrale complète en éliminant les deux constantes entre cette intégrale et ses deux dérivées partielles prises par rapport à ces constantes.

1057. Prenons encore comme exemple l'enveloppe des posi-

igo LIYBB V. — GHAP. II, $ III.

lions d*un plan

Les trois paramètres a, p, y doivent être liés par deux relations

En différentiant Téquation (i5) par rapport à a, et ayant égard aux équations (i6), il vient

(17) o=i-4-xy'(a)-f.Jx'(a)-

Si Ton élimine a, P, y entre les équations (i5), (16), (17), on aura Téquation de l'enveloppe, qui est une surface développable. L'ensemble des équations (i5), (16) et (17) représente la caractéristique, qui est une droite, et l'élimination de a entre ces mêmes équations et l'équation

donnera l'équation de l'arête de rebroussement.

Si l'on suppose que la fonction y^[a) dépende de la fonction f (a) suivant une loi donnée, exprimée par la relation

Z(«) =/[?(«)]. ou 7=/(|3), l'équation de l'enveloppée

contiendra deux constantes arbitraires a, P; celle de l'enveloppe dépendra d*une fonction arbitraire (3 = 9(a).

En considérant a et (3 comme des constantes, les deux dérivées partielles de^l'équation (18) sont

d'où l'on tire, par l'élimination de p,

équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait le plan mobile. Si l'on considère l'enveloppe, pour laquelle « est variable et |3