EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES NON LINÉAIRES. I9I

fonction de ol^ alors on a les équations

qui se réduisent è p^=^, q =y(p) en vertu de Téquation (17), et d'où Ton tire encore Téquation (19).

Enfin, si Ton voulait avoir la solution singulière, il faudrait déterminer a et P par les équations (i4)> qui deviennent ici

0=1, 0=X+jr/'(|3),

et dont la première est impossible. On voit donc qu'il n'y a pas, dans le cas actuel, d'enveloppe générale correspondant à une solution singulière.

1058. Plus généralement, supposons que l'on donne une équation, entre la fonction Zj les n variables indépendantes Xi, x%j . . ., Xm, et n paramètres arbitraires «i, a^^ • • • , ât/n

(20) F(3, Xi, . • .,-ï^»t «I, .. -, «rt) = 0.

Entre cette équation et ses n dérivées partielles

pi, ••*jpn désignant les dérivées ^ — » •••> -r — » éliminons les

n paramètres ai , • • . , a,, ; on obtiendra une équation aux dérivées partielles du premier ordre

dont Féquation (ao) sera V intégrale complète.

Au lieu de considérer maintenant ai , . . . , a^i comme des constantes, considérons-les comme des variables liées entr« elles par n — I relations arbitraires, que l'on pourra mettre sous la forme

igS LIVBB V. — CHAP. II, § IIU

Alors, quand on difTérentiera Téquation (30) par rapport à jt/, la variabilité de «i , «..,«11 introduira dans Téquation dérivée le terme

d¥ dat dF dan-^i ^ dF\da^

Si l'on égale à zéro le multiplicateur commun des dérivées -^9 • ••)

^-^ dans toutes les équations dérivées, celles-ci se réduiront aux

équations (211), comme si a^ ..., oe„ étaient des constantes, et Télimination de «i, . • *, an entre les équations (20) et (21) conduira encore à la même équation aux dérivées partielles (22). Donc on aura encore une solution de l'équation aux dérivées partielles (22) en éliminant a^ . . ., oC/t entre les équations

(24) F = 0, ai = ç»t(a;»), ..., «„-i = frt-i(«„), f^j=o,

( ^ — j désignant, pour abréger, la dérivée de F prise par rapport

à «/i, en y faisant varier les quantités «i, . . ., a^.i qui dépendent de ay,. On a ainsi une intégrale générale de l'équation (22), renfermant n — I fonctions arbitraires.

Si, au lieu de tz — i relations arbitraires entre «i, . . ., a,,, on n'en établit que n — 2, celles-ci pourront se mettre sous la forme

1 ?l(*/l-l> ««)» •••» «»-« = ?/»-! («ll-lf ««)•

Alors la variabilité de ^i, . . ., o^n ajoute à l'équation dérivée par rapport à Xi les deux termes

dF da, dF da„«, dF \ da««,

dai da^i da;^«, da;,i ^««-i/ dx^

/ dF dat dF d«„, dF \ d«„

\dat da/i ào^n—t àa^ da^ J dxg

En égalant à zéro les deux parenthèses, toutes les équations dérivées se réduiront aux équations (21) et conduiront encore à la même équation (22). Donc Téquation (22) est susceptible d'une seconde intégrale générale, contenant n — 2 fonctions arbitraires.

BQCATIONS A DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES. IqS

et représentée par l'ensemble des équations

F = o, «i = yi(«i»-i» ««)> •••» «rt— !=?»-«( «i»-i» «»)» («51 ■

En continuant ainsi, on verra que l'équation (2a) admet des intégrales générales renfermant n — 3, n — 4i • • •) ^9 1 fonctions arbitraires. Ainsi on aura une solution avec n — k fonctions arbitraires, en éliminant «i, . . ., a^ entre les équations

*l = ?I ( ^n—lH-lf • • • > «»)> • • • » «rt-jfc = fn^k ( «i»-Jt+l» • • • 1 «n) >

On aura une intégrale générale avec une fonction arbitraire en éliminant ai, . . ., a^ entre les équations

(îi6) F = o, «i = ?i(ai, ..., «a), f^j = o, ..., (^j=o.

Enfin, on aura une solution singulière de l'équation (22), ne

renfermant ni constantes ni fonctions arbitraires, en éliminant

«1, . . ., a„ entre l'équation F = o et ses dérivées par rapport aux

n paramètres,

d¥ dF

On voit que toutes ces solutions diverses se déduisent de la seule intégrale complète (20) au moyen de différentiations et d'éliminations, de sorte que la connaissance d'une intégrale complète suffit pour obtenir toutes les solutions dont une équation aux dérivées partielles du premier ordre (22) est susceptible.

§ IV