DE DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES

1059. Soit donnée a priori une équation aux dérivées partielles du premier ordre à deux variables indépendantes, et supposons-la

H. -. Çimrs de CaletU in/itt., III. 1 3

résolue par rapport à Fune des dérivées partielles p= t-» y = -r-y par exemple par rapport à q, de sorte qu'on ait

(i) ^=f(^,yi^^p)j

ou, ce qui est la même chose,

(2) dyz—f[x, y, Zyp)dy.

Pourj^=j^o> traçons à volonté, dans le plan représenté par cette équation, une courbe arbitraire

d'où Ton tire, pour la valeur de p correspondante,

En mettant pour z et pour p ces valeurs initiales dans Téquation (2), on aura, pour chaque point de la courbe (3), une valeur de l'accroissement dyZ correspondant à l'accroissement dy àty. Au moyen de cette expression, on pourra construire, dans le plan y z= yQ-\- djy une nouvelle courbe donnée par l'équation

z = y (j^) -h dyZ = yi(.r).

En répétant sur cette nouvelle courbe la construction que nous avons faite sur la première, on obtiendra de même une troisième courbe dans le plan j^ =:j^Q-f- ixdy^ et ainsi de suite indéfiniment. L'ensemble de toutes ces courbes successives aura pour limite une surface dont l'ordonnée sera une fonction de x et de j^, satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles proposée et dépendant d'une fonction arbitraire, de telle sorte qu'on pourra faire passer cette surface par une courbe donnée arbitrairement dans un plan parallèle à celui des zx.

Remarquons que, si l'on considère le plan des zx comme plan horizontal, la construction précédente revient à la détermination successive des lignes de niveau de la surface au moyen de l'une d'entre elles, donnée arbitrairement.

1060. Si l'on donnait une courbe de niveau parallèle au plan des xjy considéré comme horizontal, on ramènerait ce cas au pré-

ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES. IqS

cèdent en changeant de variables indépendantes, par exemple en considérant y comme fonction de a: et de ^. Si Ton difierentie sous ce point de vue l'équation

on aura

d'où Ton tire

r dx

dz âz

et Téquation proposée

(l) ¥[xyjr,z,p, <z)=:o

devient

dx I

dz dz^

On rentre alors dans le cas du numéro précédent.

On peut aussi faire la construction sans changement de variable dépendante. Soit donnée arbitrairement une ligne de niveau ayant pour équations

Lorsque ac et j" varieront de manière à satisfaire à l'équation jr = j^(a:), zne devra pas changer de valeur; donc l'expression dzz=zpda: -h (fdy devra s'annuler pour dj- = yl [x) dx , ce qui donne la condition

laquelle, jointe à l'équation donnée (i), déterminera les valeurs de p et de q tout le long de la ligne de niveau.

Pour construire la ligne de niveau infiniment voisine, imaginons qu'en chaque point de la première on mène une normale infiniment

petite^ pour laquelle on aura

Xl^y

Si Ton désigne par y Tangle de la normale à la surface avec l'axe des Zj ou Tangle du plan tangent avec le plan des xy, la longueur du de la portion de normale et l'accroissement dz formeront les c6tés de Tangle droit d'un triangle rectangle, dont Tangle opposé à dz sera y.

On aura donc

dJi = coiy dz := »

En donnant à dz une valeur constante infiniment petite, on construira les extrémités des dfi pour tous les points de la courbe (2), ce qui donnera la projection de la seconde courbe de niveau sur la première et^ partant, la position de cette seconde ligne de niveau dans l'espace. Et ainsi de suite.

1061. On peut encore, au moyen de l'équation aux dérivées partielles

obtenir le développement en série de la fonction z suivant les puissances de l'accroissement de l'une des variables, de jr par exemple.

Soit donnée, en effet, pour^=^oi Isi valeur arbitraire Zo = f (x) de z. On en tire

et par suite

Or l'équation (i) peut, par des différentiations et des éliminations successives, faire connaître toutes les dérivées de z prises par rapport aux deux variables x, jr^ ou par rapport kj seulement, au moyen des dérivées de z prises par rapport à x seulement. On a, en effet,

EQUATIONS A DEUX VARIABLES INDEPENDANTES. I97

ce qui donne -j-j en fonction de Xfj", z, p, -y- = ^-j* On continuera de la même manière, en remarquant que

D'après cela, si l'on connaît z et par suite p pour^=j^o> on en conclura les valeurs pour j^ = J^o ^^ toutes les quantités

djr* djr*^ djr*^ dx^^

On connaîtra donc tous les termes du développement

^-^fêl^^-^'^-^fê]

Si les valeurs des variables sont telles que la série soit convergente, on aura donc une intégrale générale de l'équation (i), renfermant une foaction arbitraire.

i062. Exemple. — Soil l'équation q =z ap ou

dz dz

dj- dx

et supposons que, pour^=^|> = o, on donne la valeur de Zo = f (x). L'équation proposée fera connaître successivement

d*z d*» " dr ,d*z

dy^ oxdjr dx dx^

<)»/» "~ ** 5P^ "~ * <?j:» "~* dx»' et ainsi de suite, d'où

igS LIVRE V. — CIIAP. II, § IV.

On a donc, pour le développement de z,

z=y[x)-haj'{x)^-\-a*<f"{x]-f-+...

On a par conséquent, pour l'intégrale générale sous forme finie de l'équation proposée,

Q^ désignant une fonction arbitraire.

Remarque. — Les méthodes exposées dans les numéros précédents ne fournissent pas la solution singulière de Téquatîon aux dérivées partielles, parce que l'on ne construit qu'une valeur unique de q et que l'on ne peut, par suite, considérer le cas où deux valeurs de ^deviennent égales, ce qui a lieu en chaque point de l'enveloppe.

1063. Considérons maintenant une équation aux dérivées partielles, dans laquelle nous supposerons, pour plus de simplicité, que la dérivée la plus élevée par rapport àj^ ne soit affectée d'aucune différentiation par rapport à x, de sorte que l'équation soit de la forme

dz {J*-* s

Si l'on différentie cette équation par rapport à^, on introduira dans le second membre les quantités

5r"' &xdx^^ '"' dx^ d>r'* '

que l'on remplacera par le second membre de l'équation (i) et par les dérivées partielles de ce second membre, prises une ou plusieurs fois relativement à x, de sorte que, dans la valeur de

EQUATIONS A DEUX VARIABLES INDEPENDANTES. I99

-r-;^» il n'entrera que des quantités difierentiées n — i fois au

plus par rapport ky.

En différentiant de nouveau par rapport ày, on introduira encore des quantités difierentiées n fois par rapport à j^, et on les éliminera comme tout à Theure, en les remplaçant par des quantités difierentiées n — i fois au plus relativement kj et un certain nombre de fois par rapport à x.

De cette manière, on pourra exprimer, à Taide de Téquation (i),

-r— et toutes les dérivées des ordres supérieurs prises relativement kjr seulement, au moyen de Xy dej^, des quantités

, . dz du d'^-U

W h ^» ^,» •••' ^prri

et des dérivées de ces quantités prises par rapport à x.

Supposons maintenant que, pourj^=j^O) on donne les valeurs des quantités ( a) en fonctions arbitraires de x :

(3) f>{x), yi(x), y,(x), ..., ç>„i{x).

Alors, d'après ce qu'on vient de voir, on connaîtra les valeurs, pour j =^o> de toutes les quantités

exprimées au moyen de Xj des quantités (3) et de leurs dérivées par rapport à x. On connaîtra donc les coeflicients du développe ment de z suivant les puissances de y — y^ :

Zf, ^1 » • • • étant les valeurs de ^, ^> ••• pour j^ =jro; et la

valeur de z ainsi obtenue dépendra des n fonctions arbitraires (3), qui expriment les valeurs, pourj^=^o> de z et de ses n — i premières dérivées par rapport ky^ tout le reste étant complètement déterminé au moyen de l'équation aux dérivées partielles donnée.

30O LITIC T. — CHAP. ll« § IT.

406i. Exemple. — Considérons V équation des cordes inbrantes

dz Eln posant, pour abréger, -^ -=. z^^ on lire de cette équation

d^z ^ d'z a*» , d^z, = ûr — 9 = a* — - •

Si Ton suppose données, pour^ = o, les valeurs z=z^ 2,= z^o en fonction de x, il viendra

Posons maintenant

d'où

?>; = ^^-H~^A*^» X^l^î^-^A^^ir.

Il viendra

+ z{-)-fzV) + 7tzV)-7:£3X-l')+---,

c'est-à-dire

ce qui est l'intégrale générale de l'équation proposée.

1065. Nous allons indiquer comment cette équation a été intégrée pour la première fois par d'Alembert. EUe peut s'écrire

sous la forme

.àz dz

OX o-r

ày dx ^

INTÉGRATION d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 201

et, SOUS cette forme , elle exprime que l'expression

dz ^àz

--- rfj: -+- a' 3- df

est la dîfTérentielIe exacte d'une fonction u de x et de^, de sorte

qu'on a

dz , . àz .

-r- a-c -f- «' -r- OK m du, Ojr ÔJc

On a d'ailleurs

dz , dz . , T-dr-h^-djc = dz, ojr ô.r

d'où l'on conclut, en ajoutant à la première de ces équations le produit de la seconde par a,

relation qui prouve [778] que u-\-az et ^ — f-a^ ne peuvent être que des fonctions de x -j- ay. En changeant a en — a, on voit

semblablement que u — az et -^ a^ ne peuvent être que des

fonctions de x — ay. On a donc

u -h az = ^[x -{- ay)y u — az=zta[x — ûjj^),

d'où Ton tire

ce qui est la même chose que l'intégrale générale trouvée au numéro précédent.

1066. Nous allons indiquer encore quelques exemples d'intégration d'équations aux dérivées partielles par des méthodes particulières.

I. Si l'équation proposée ne contient que les dérivées prises par rapport à une seule des variables indépendantes, on pourra considérer cette équation comme une équation différentielle ordinaire, dans laquelle Fautre variable joue le rôle d'un paramètre constant. Seulement, après l'intégration, on remplacera la constante arbi-

202 LIVRE V. — CHAP. Il, § IV,

traire par une fonction arbitraire de la variable qui a joué le rôle de constante.

Ainsi, si Ton donne l'équation

P et Q étant des fonctions de x et dej^, son intégrale sera

?(jr) étant une fonction arbitraire de x et de^. L'équation

qui se rapporte à l'équation de Clairaut [847], aura pour intégrale

Y désignant une fonction arbitraire de^. De l'équation

OÙ X est une fonction donnée de x, on tirera [893]

z = y(.r) cosX^-4-x(-^) sinX^,

9 et p^ désignant deux fonctions arbitraires. IL Soit l'équation * ^