ax"* -f- by^ = o

dxdjr

En multipliant par dx et intégrant par rapport à x, comme si/ était une constante, il vient

— H h bxx'' = f{jr)'

Intégrant maintenant par rapport à y^ considéré comme seule variable, et désignant par x(jr) ^^ fonction arbitraire yy(/)^, il vient

ZH -^ H ^ =:y{x)'{-^lx).

/w-hl n-hi ^^-^ ' ^^ *

INTÉGRATION D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. ao3

L'équation

dx dy ày

P et Q étant des fonctions de x et de j^, donne d'abord, en prenant ^ pour la fonction inconnue,

On en tire ensuite z en intégrant partiellement par rapport à y et ajoutant à l'intégrale une fonction arbitraire de x>

III. Considérons Téquation des surfaces développables [1046],

q = ts[p].

On en tire

d'où, en intégrant par parties,

z=zpx -f- w(/?)j— /[a: '^yvs'[p]]dp,

ou, ce qui revient au même,

d[z —px — cT[/?)jr] = — [.r -\-yxs'[p)] dp.

Il résulte de là, en vertu du théorème fondamental du n** 778, que les deux quantités z — px — xs[p)y et — x — yx3'[p) doivent être deux fonctions de p^ dont la seconde est la dérivée de la première. On doit donc avoir

Z'-px—xs[p)y=zff[p), -.x — w'[p)yz=iff'[p),

et, par suite, la relation entre x,j, z s'obtient par l'élimination de a. entre les deux équations

2 = ax-+-cr(a)^-f-y(a), o =i x -{- xn' [ol] y -+- /(a),

ce qui s'accorde avec ce que nous avons vu au n** 1057. IV- Soit encore l'équation

Désignons par a> la valeur commune des deux membres. Des équa-

tîons F( x, ^ j = «, F^ [y y (/)=z(ù on tirera et par suite

Si Ton pose maintenant, pour abréger, on aura

d'où

,^ ^^ fdX dY\ ,

dz=zdX-^dY—{-T h 'T-]d(a.

On conclut de là que z — X — Y et — f-^ — ^Tt) ^^^^ ^®"*

fonctions de co, dont Tune est la dérivée de l'autre. Donc l'intégrale de l'équation proposée est contenue dans l'ensemble des deux équations

, . ^X dY ,f

2=:X 4- Y -h 9(w), O = -7 h -T hyfw).