DU PREMIER ORDRE
1067. On entend par équation linéaire aux dérivées partielles une équation dans laquelle les dérivées partielles de la fonction inconnue n'entrent qu'au premier degré, sans être multipliées entre elles.
Le problème de l'intégration d'une équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre se ramène à celui de l'intégration d'un système d'équations simultanées aux différentielles ordinaires du premier ordre, et réciproquement.
Soit, en effet, un système de n équations différentielles du premier ordre,
EQUATIONS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE. 2o5
entre les Ti-i- 1 variables tj x^y^ ... et leurs diiTérentîelles. Supposons que Ton ait trouvé les intégrales générales de ce système et qu'on les ait résolues par rapport aux constantes arbitraires qu'elles renferment, en les mettant sous la forme
les fonctions y^ y^a y ... ne contenant plus aucune constante arbitraire. Ces fonctions y^ y*a, ...| qui restent constantes en vertu des équations différentielles (i), s'appellent aussi elles-mêmes les intégrales des équations (i).
Toute fonction àefijf^i •-•^ étant constante en même temps quey^ yf^i . . ., est aussi une intégrale des équations (i).
1068. Remarquons ensuite que les quantités T, X, Y, . . . ne peuvent pas être toutes identiquement nulles, sans quoi il n'y aurait plus d'équations différentielles. De plus, elles ne peuvent pas devenir toutes nulles en vertu des équations (2). En effet, si la fonction T n'est pas identiquement nulle, l'équation T= o est une relation entre les variables qui ne contient aucune constante arbitraire, et qui ne peut subsister en même temps que les équations (a), puisque celles-ci doivent être telles que, pour £ = fo> on puisse donner kx^j, ... telles valeurs que Ton voudra.
1069. Supposons donc que T, par exemple, soit différent de zéro (sauf pour des valeurs particulières de t). En différentiant la première des équations (s)» il vient
^ ' dt dx oy
Mais, l'équation Ci=y*i étant une intégrale des équations (i), l'accroissement de/) doit être nul toutes les fois que dt^ dx, djy ... seront proportionnels à T, X, Y, . . . ., quelle que soit la valeur de la variable indépendante t. On doit donc avoir, quel que soit £,
206 LIVHB V. — CHAP. Il, § V.
Cette relation (4); ne contenant aucune constante arbitraire, ne peut être qu'une identité, sans quoi, par la raison que nous exposions dans le numéro précédent, elle serait incompatible avec les intégrales générales (2).
Donc toute intégrale des équations (i) est une solution de l'équation aux dérivées partielles
• (5) T-r--hX-r I-Y3 1-...==0.
^ ' ot ôx ày
1070. Réciproquement, toute solutiony*=yj de Téquation (5), c'est-à-dire toute fonction /i de ty x^y^ ... qui vérifie identiquement l'équation (5), sera une intégrale des équations (i). En effet.
on a
^/i-tf'^^^ -^ dt àx^ dt dy )
Or, si a:, ^, ... sont des fonctions de t telles que l'on ait, quel que
soit 2,
dlr X f/r Y
dt ~" t' dt t'
on aura, T étant supposé ne pas s'annuler,
*'* 1\ àt ôx ày
expression identiquement nulle, puisqueyi satisfait à la relation (4 )•
Donc on a
4/i=i:o, /, = const.,
lorsqu'on substitue dans yi des valeurs Aex^y, ... en fonction de £ qui satisfont aux équations différentielles (1). Donc yj est une des intégrales de ces équations (i).
Si donc on a 72 solutions distinctes de l'équation (5), c'est-à-dire n solutions telles que la constance de l'une quelconque d'entre elles ne soil pas la conséquence de la constance des autres (ce dont on s'assurera en vérifiant que leur déterminant fonctionnel par rapport kx^y, ... n'est pas nul), on aura les intégrales générales des équations (i) en égalant ces n solutions à des constantes arbitraires.
1071. Une fonction quelconque àef^yf^^ ..., étant une intégrale des équations (i), sera aussi une solution de Téquation (5). C'est ce que Ton peut vérifier directement. Soit, en effet, F une fonction quelconque de/ij/i» On a
ai ■" df, dt "^ dA dt djc dfx dx dj\ dx
Ed multipliant ces équations respectivement par T, X, . . . et
dF faisant la somme, chaque quantité -r^ se trouve multipliée, dans le
second membre, par le résultat de la substitution à^ft kfddtns le
premier membre de ( 5 ), résultat qui est identiquement nul, puisque
Ji est supposé être une solution de cette équation (5). Donc on a
identiquement
^ÔF ^ d¥ ,, dF
T-5-4-X3--i-Y-T--4-...=0, Oi OX OJ
c'est-à-dire que F est une solution de l'équation (5).
1072. Réciproquement, toute solution F de Téquation (5) est une fonction des n solutions distinctes
qui, égalées à des constantes, donnent les intégrales complètes des équations (i). En effet, des n équations qui lient ces fonctions /o/a, . - . aux variables t, x, j, * , . on peut tirer les valeurs des n variables jr,j, . . . en fonction de la (/i-f-i)**™® ^etdey^yi, .. .,//i, et, en substituant ces valeurs dans la solution proposée F, celle-ci prendra la forme
^(^/ij/îi • • •>/»)•
Puisqu'elle satisfait à l'équation (5), on devra avoir identiquement l'égalité
à^ \^f^ dt '^df, de "^"V
\ d/i dx df^dx ' /
ao8 LIVBE V. — CUAP. II, § V.
Commeyiy/*a, • .« sont des solutions de (5), cette égalité se réduit à ou simplement) T étant différent de zéro, à
dt
Donc, si la fonction F satisfait à Téquatlon (5), elle ne peut contenir explicitement t après l'élimination de x, j", . . .; elle ne dépend donc que des fonctionsy^yi, . . . yfn-
Donc, ^if\yf2j'*»'ifn sont les ra intégrales du système (i), la solution la plus générale de Téquation ( 5 ) sera
f étant une fonction arbitraire. Ainsi, étant donnée une équation aux dérivées partielles du premier ordre (5), linéaire par rapport aux dérivées partielles, et ne contenant ni la fonctionyelle-méme explicitement ni aucun terme indépendant des dérivées partielles, on aura son intégrale générale, en prenant pour y une fonction arbitraire des n intégrales du système (i) d'équations simultanées aux différentielles ordinaires.
1073. Soit maintenant une équation linéaire par i-apport aux dérivées partielles de la fonction inconnue t, mais contenant un terme indépendant de ces dérivées, et dans laquelle la fonction t entre explicitement d'une manière quelconque,
chacune des quantités T, X, Y, . . • étant une fonction det,x,y,..,. Si Ton représente pary(î,x,j^, . . .) une solution de réquation(5), la valeur de t en x, j^, . . . , déterminée par Téquation
que Ton obtient en égalant cette solution à zéro, sera une solution
de Téquation (7). En effet, on tîre de Téquation (8)
dt d-r-
dx df '
dt ôy dy df
dt
dt
d^oii, en substituant dans réquation(7) et remarquant que -^ ne doit pas être nul,
dt
équation qui est identiquement vérifiée, puisque^* est une solution de l'équation (5). Donc la valeur de ty tirée de Téquation (8) que Ton obtient en égalant à zéro une solution quelconque de Téqua* lion (5), satisfait identiquement à Téquation (7).
Un raisonnement tout semblable au précédent montrerait que, si, au lieu de tirer t de Téquation (8), on le tirait de l'équation plus générale
(11) /(^-^jr* ...) = «»
où a est une constante arbitraire, la valeur de t déduite de cette nouvelle équation satisferait identiquement à Téquation (7). En effet, les calculs précédents ne seraient changés en rien, la constante a disparaissant dans la différentiation.
1074. Réciproquement, si la valeur de t tirée d*une relation de la forme
(il) /;^•^,J»•• .; =
se
satisfait à l'équation aux dérivées partielles (7) quelle que soit la constante a, le premier membre de l'équation (i i) sera une solution de l'équation (5).
En effet, si l'on tire de l'équation (11) les valeurs (9) de
T' Â~^ ' "' ®^ qu'on les substitue dans l'équation (7), on devra
H. — Cours de Calcul infin., III. '4
