IO LIVBB V. — CHAP. II, § V

avoir Tégalité (lo), d*où l'on conclut

^ ' di dx dj-

relation qui doit avoir lieu identiquement, quels que soient .r,^, ... y du moins si l'on y remplace t par sa valeur tirée de (i i), et quelle que soit la valeur de la constante a.

Mais, comme Téquation (ii) contient cette constante a, on pourra attribuer aux variables t, x^y, ... un système de valeurs quelconques to,Xoyj^o7 • • •> et il suiïira pour cela de déterminer la valeur de la constante a par la condition

L'équation (12), qui ne contient pas la constante a, devra donc pouvoir être vérifiée quelles que soient les valeurs attribuées aux quantités t, x,y, ....

D'après cela, considérons une solution non singulière de l'équation (7), contenant au moins une constante arbitraire a,

/=ct(u7,7, . . .,a).

En résolvant cette équation par rapport à a, on aura une relation de la forme

et la fonction f ainsi déterminée sera une solution de Téquation homogène aux dérivées partielles (5).

Donc toute solution de Téquation (7) contenant au moins une constante arbitraire s'obtient en égalant à une constante arbitraire une solution de l'équation (5).

1075. On voit donc que l'intégration de l'équation (7) entre la fonction t et les n variables indépendantes Xyj'f . . . , linéaire par rapport aux dérivées partielles de t, mais contenant t explicitement d'une manière quelconque dans ses coefficients et ayant un terme indépendant des dérivées partielles, peut se ramener à l'intégration de l'équation linéaire

EQUATIONS LINEAIRES DU PREMIER ORDRE. ail

d'une forme moins générale , où Pinconnue f dépend d'une variable indépendante de plus, mais où cette fonction j n'entre que par ses dérivées parti elles , et qui ne contient pas de terme indépendant de ces dérivées partielles.

Ayant trouvé Fintégrçde générale

de Féquation (12), on en conclura que l'intégrale générale de l'équation

est donnée par l'équation

On l'obtiendra donc en cherchant les intégralesyi,yi, . . . ,/„ du système des équations (i) et en établissant entre ces intégrales une relation arbitraire.

4076. On voit, d'après cela, que, si l'on considère : 1^ Les 71 équations simultanées aux diflerentielles ordinaires du premier ordre

dt dx dy

entre les n-h i variables t^x^y^ ... ;

a® L'équation différentielle unique du ti**"' ordre entre deux variables, que l'on déduirait du système (i) par des différentiations et des éliminations [935], et dont l'intégration équivaudrait à celle des équations (i);

3^ L'équation aux dérivées partielles du premier ordre, linéaire par rapport aux dérivées partielles et où la fonction inconnue n'entre pas explicitement, le nombre des variables indépendantes étant 71 -4- I et l'équation ne contenant pas de terme indépendant des dérivées partielles,

^ ' dt dx dy

4*^ L'équation linéaire par rapport aux dérivées partielles, ayant

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un terme indépendant de ces dérivées et n variables indépendantes seulement, et où la fonction inconnue entre explicitement d'une manière quelconque^

La résolution de ces quatre problèmes dépend de la recherche des mêmes fonctions indépendantes y^/i, • - • , fn^ qui sont des intégrsiles des équations (i) ou des solutions de Téquation (5), ou qui, égalées à zéro ou à une constante arbitraire, fournissent chacune une solution de Téquation (7).

1077. Appliquons ces règles à quelques exemples, entre autres aux équations aux dérivées partielles de quelques familles de surfaces.