II. Etant donnée l'équation des surfaces coniques

on est conduit à intégrer les équations

dx dr dz

EQUATIONS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE. 2l3

ce qui donne les intégrales

X — a jr — b

On en conclut, pour Téquation finie des surfaces coniques,

III. Considérons Téquation aux dérivées partielles des surfaces de révolution autour de Taxe des 2 [1034],

En intégrant les équations différentielles

xdx=z — ydy=^ — 9

on aura les intégrales

d'où l'on tire, pour Téquation finie de ces surfaces,

IV. Si nous prenons l'équation aux dérivées partielles des surfaces de révolution autour d'une droite quelconque,

[y — b — Bz)/? — (j: — û — A«)<7 = B(.r — a) — A(^— ^),

nous aurons à intégrer le système

dx dy dz

y — h — Bz — [x — a] -^ Kz B{a: — a] — A(j — b]

kdx'\-^dY [x ^ a)dx -\' [y — b)dY

^ k[y — b)-^Y^[x — a)^ [B(a: — a) -hA(^— 6)]z'

d'où l'on tire

Kdx -h ^dy -h dz = 0j (x — a)dx-h [y — b)dy -h zdz = o,

et par suite

ai4 LIVRE V. — CHAP. II, § V.

Donc réquation finie de ces surfaces est

V. L'équation aux dérivées partielles des conoïdes qui ont Taxe des z pour directrice et le plan des xy pour plan directeur est

ce qui conduit aux équations différentielles

dx dy dz

dont les intégrales sont

— — Cl, z — Cl,

eif par suite, Téquation finie de ces surfaces sera

VI. Prenons Téquation qui exprime le théorème d'Euler sur les fonctions homogènes [322] :

de dt dt

X ^ — \-Y -z — h z -r- -f- . . . = mt. ox ox oz

On aura à intégrer les équations différentielles

dx df dz dt

x X z ' ' mt

d'où Ton lire les intégrales

on a donc, pour la valeur générale de la fonction f,

Donc le théorème d'Euler suffit pour 'caractériser les fonctions homogènes.

ÉQUATIONS LINEAIRES DU PREMIER ORDRE. 2l5