VII. Étant donnée une équation différentielle d'ordre n

éU^x „/ dx cf«-*x\

on peut la remplacer par les n équations différentielles simultanées

, . ^ d,t dx' /^.r(»-*)

Or ce sont là les équations dont l'intégration conduit à celle de Tune ou l'autre des équations aux dérivées partielles

[ dx(«-») ,d.r(«-») ^dxf»-*)

\ (^/ dx dx'

L'intégration de l'un quelconque des systèmes (i), (2), (3), (4) fera connaître immédiatement les intégrales des trois autres.

1078. Lorsqu'on a intégré une équation linéaire homogène aux dérivées partielles de la forme de l'équation (5) [1049],

(il T^-4-X^+Y^-^ -o

T, Xy Y, . . . étant des fonctions des seules variables indépendantes tj x,y^ . . ., on peut, par une simple quadrature, obtenir l'intégrale de l'équation à second membre

, ^ ^dF ^d¥ ^dF

^ ' dt dx dx

V étant une nouvelle fonction de tjX,yj ....

Soient, en effet, fiyf^, "-y fa 'es n solutions particulières distinctes dont la valeur générale dey*est une fonction arbitraire [1072]. Nous avons vu [1072] que, si l'on exprime une fonction quelconque F de î, x, j^, ... au moyen de t et des n variables fi ,

2l6 LIVRE V. — GHAP. II, § V.

yi^ • • • j /«> le premier membre de Téquation (2) se réduit à

en entourant de parenthèses la dérivée par rapport à ^ de la fonction F lorsque celle-ci est exprimée au moyen de ï,yi, . . -^fn^ Donc Téquation (2) se réduira à

d'où Ton tire

cp désignant une fonction arbitraire, et l'intégration se faisant partiellement par rapport à f , dans la supposition où Ton a exprimé

— en fonction de /,y, , . . . ,yî|.

On peut mettre cette intégrale partielle sous une autre forme. Si

Ton suppose

rp ==^ f ( ^yi » • • ■ » y/i ) >

on pourra écrire

(4) f^dlz=f'{{Oj„...,/„]dB,

to étant une quantité quelconque indépendante de t et pouvant dépendre defty ...,/„', à Faide de cette notation on pourra, si Ton veut, remettre dans ((9y/i, . . .,yj,), à la place de^i, . . .,fn, leurs valeurs en /, x, j^, ....

On voit que l'intégrale (3) de l'équation (2) se compose d'une intégrale particulière (4) de cette équation, plus de l'intégrale générale <p(/*o . . » yfn) de l'équation sans second membre (i), ce qui est analogue à ce que nous avons vu pour les équations linéaires à une seule variable indépendante [901].

Exemple. — Considérons le reste de la série de Taylor,

En différentiant cette expression successivement par rapport à x tikhf il vient

dx dh 1 . 2 . . . [ /i — I ) ^

Pour intégrer cette équation, on intégrera d'abord l'équation sans second membre

djr. dit

qui donne [1062]y=<ç(y,),yi représentant la solution particulière

/, = jr -f- h.

Si Ton introduit y*i comme variable au lieu de hy il vient

\dx) i.2...(/i — i)^ ^ ^'

d'où, en intégrant et désignant par x^ une fonction de la quantité /{ considérée comme constante, on tire, à la fonction arbitraire près,

^' = -T:^.-(^^irT)ij/.— )''-^"'H

^)dx.

En mettant, dans le second membre, \ au lieu de x, puis remplaçant y*| par x-\-h, il viendra

Si Ton pose

d'où, pour ^=zXo9 t=x-hh — Xo=^f\ — x© et, pour Ç = x, t=:hy on pourra, pour plus de simplicité, prendre Xo =fiy et la valeur de F deviendra, en rétablissant la fonction arbitraire dey*i,