I.a...{/I— l)JO

Or la fonction F doit, par définition, s'annuler avec A, quel que soit X. On a donc <p(x) = o, et par suite cp(j:4-/*) = o, ce qui donne la forme connue du reste F [360].

2l8 LITEB T. — CHAP. Il, § Tf.

§ VI

llfTéGRATIOH DES ÉQUATIONS BOB LIBÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE DABS LE CAS DE DEUX VARIABLES

IBDÉPEBDABTBS.

i079. Soit donnée une équation non linéaire aux dérivées partielles du premier ordre

p et q représentant les dérivées partielles -r-» — • Il s'agit de

trouver une fonction z de x et dey, telle que sa valeur et celles de ses deux dérivées partielles satisfassent identiquement à l'équation (i).

Nous avons vu [1053, 1055] que Ton peut déterminer la solution la plus générale de l'équation (i), et même la solution singulière, dès que l'on connaît Vintégrale complète, c'est-à-dire une fonction z de X el dey renfermant deux constantes arbitraires et satisfaisant à l'équation (i) quelles que soient ces constantes. Or, si l'on connaissait les fonctions p tlq exprimées au moyen de j:, y^ z et d'une constante arbitraire a, la condition

(a) dz=pdx'{-qdjr,

qui exprime que p et ç sont égales aux dérivées partielles de z par rapport à x et à^, donnerait, par son intégration, la valeur de z en fonction de x, y, a et d'une nouvelle constante arbitraire |3.

Or les valeurs de p et de q sont assujetties seulement aux deux conditions suivantes : i® de satisfaire identiquement à l'équation (i); a^ de rendre intégrable [1011] l'éqaation aux différentielles totales (a).

1080. Soit

(3) ct(*, J, z,/?, q) = (i

la relation inconnue entre x, jr, z, /;, q qui, jointe à l'équation (i), doit déterminer pour p et q des valeurs en x^y, z, a qui rendent intégrable l'équation (2). En difTérentiant les équations (i) et (3)

ÉQUATIONS NON LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE. aiQ

par rapport à x et à j^, et posant, pour abréger,

il vient

fdF\ dF dFdz \dxj dx dz dx

fdV\ dF (dp\ dF fdq\ f^l] àF (dp\ dF {dq\

\dx) "" dp \dx) "^ dq \dx) ^ ^' [dfj "^ dp \dx) "^ dq \dP) - ""'

)dts /dp\ du/dqX /^^\ àa /dp\ àj3fdq\

dx

En éliminant (-^) entre les deux équations de gauche, et (^^j

entre les deux équations de droite, il vient ^

ôa /aF\ âF /dmX ^(àFdu dF dm\ /dqX dp \dxj dp \dx ) \dq dp dp dq ) \dxj ~" '

àq\djr) dq\djr) \àq dp dp dq ) \djr ) "^ ^

Dans ces deux équations, le multiplicateur commun de f ^ ] et

de 1 ^ ] est le déterminant fonctionnel des équations (i) et (3).

il ne saurait donc être nul [316], si, comme on doit le supposer, ces équations sont résolubles par rapport kp eikq. Or la condition d'intégrabilité de Téquation (a) est

Pour qu'elle soit remplie, il faut et il sufBt, en vertu des deux équations précédentes, que la fonction xs satisfasse à la condition

d^ fdF\ dF (àu\ dm /dF\ dF /d^\ dp \dx) dp \dx) "^ dq \dj') dq \dx) "'"'

ou, en développant les dérivées entourées de parenthèses,

^^' dp dx "^ dq dx'^y'dp'^^ dq) dz \dx) dp \dx) dq"""'

équation linéaire aux dérivées partielles de la forme générale que nous avons considérée aux n*** 1069-1072. En prenant une solution

particulière quelconque u^ de cette équation et TégalÀnt à une constante a, les valeurs de ^ et de ^ tirées des équations

F = o, dj = a

rendront Téquation ( 2 ) intégrable.

Pour avoir une solution particulière de Téquation (4), il suffira de déterminer une quelconque des intégrales du système d'équations aux. difTérentielles ordinaires

, ^ flr dr* dz dp dq

dp dq dp dq ôjc '^ dz djr dz

1081. Exemples, — I. Soit Téquation

z:=zpq.

Les équations (5) deviennent, dans ce cas,

€lr dy dz dp dq

q '^ p ~' ^pq~' P ~' q

En égalant le premier et le dernier de ces rapports, il vient

dr zr: dq^ d'oÙ ^ zzr x -+- a,

et par suite, en vertu de l'équation proposée,

L'équation (2) devient alors

dz z=. r/x -4- f x -|- « ) dr.