ÉQUATIONS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS

ligne horizontale quelconque,

dfi d'/j

proportions que l'on pourra changer en égalités en prenant , par exemple,

Maintenant, faisons abstraction de la condition R = o, et laissons r quelconque, ^,73, ... étant déterminés en r par les équations (18); on aura identiquement, quel que soit r,

, . ^R f sàK

Si Ton sul)stilue dans les premiers membres des équations (j) les expressions (i4) en tenant compte des valeurs (18), on aura donc les identités

'9) ! ?î(D,)x'-}-/^j(D,)j-4-...rr30,

Les équations (5) sont donc vérifiées par les substitutions (i4) si la valeur de r, dont dépendent J, >;, . . . , est une racine de l'équation R = o.

Si toutes les racines de Téquation (16) sont inégales, chacun»; d'elles fournissant un système de valeurs distinctes de r, ^, yj, . . . , on tirera des formules (i4) autant de systèmes d'intégrales particulières des équations (5) qu'il y aura d'unités dans le degi'é de R, et l'on voit facilement que ce degré est égal à /| -+- mo -h ... ou à l'ordre N du système d'équations proposé. On connaîtra donc ainsi les intégrales générales des équations (5).

Si l'équation (16) a A' racines égales à r, h des systèmes donnés par les formules (i4) se confondront en un seul. Mais il est aisé de voir que, dans ce cas, la racine multiple r fournit k systèmes distincts d'intégrales particulières, ce qui complète le nombre N des systèmes nécessaires pour former l'intégrale générale.

aa LIVBE IV. — CHAP. V, § IV.

On a, en eOfet, en dîflerentiant Ar — i fois par rapport à /* le système des identités (19)9 les nouveaux systèmes d'identités

l?.(I>0^ + Xi(D0|;-H...-^^'(^ + D,)R, (20) { f^.dx r^.dx

?i(ï>0^ + ;Ct(D,]^'+.. -c^'(^-f-D,/-^R,

Si /• est une racine Ar-uple de l'équation (16), le second membre de la première équation de chacun des systèmes (20), . . ., (21) s'évanouira, et, par suite, à la racine r correspondront non-seulement le système d'intégrales

-^ rt ^^^ ri

mais encore les h — i autres systèmes, distincts du premier,

\ dr dr

§ IV

IMTÉGRATION des équations différentielles linéaires COMPLETES.

951 . I. Méthode des coefficients indéterminés, — Pour passer de l'intégration des équations sans seconds membres ( 5 ) aux équations complètes (i), il suffit [948] de connaître un système d'intégrales particulières de celles-ci.

Lorsque les seconds membres des équations (i) (supposées à coefficients constants ) seront ou des polynômes entiers et rationnels en f à coefficients constants, ou des exponentielles ae^^ à exposants réels ou imaginaires, ou, ce qui revient au même, desfonc-

ÉQUATIONS LINÉAIRES COMPLÈTES. !à3

lions hyperboliques de la forme Pgjj (|:x^ + v), ou des fonctions circulaires de la forme l3gin(i^^ + v), on pourra obtenir un système d'intégrales particulières par la méthode des coefficients indéterminés, comme on l'a fait [903] pour une seule équation linéaire entre deux variables. On pourra profiter, dans ce cas, de la faculté de décomposer les valeurs en parties [949].

Quand les seconds membres T|, T3, ... dépendent d'une même exponentielle et sont de la forme

il est aisé, en général, d'obtenir les valeurs correspondantes des intégrales particulières X, Y, .... En eOet, si l'on fait dans les équations (i) les substitutions (14)9 î^ vient, en divisant par e'*',

Si l'on fait maintenant r= X, et que cette valeur n'annule pas le déterminant R [949], on aura, pour déterminer ^, 7], . . . , les équations

Si la supposition /* = X annule le déterminant R, on emploiera alors, pour le calcul de X, Y, . . . , des méthodes générales que nous exposerons plus loin.