III. Soit proposée réquation

Les équations (5) deviennent

dx djr dz dp dq

ipy'~ ^qy^z'" 'i[p'-\-q')y — qz ~^pq'~~ --/>»'

Le dénominateur de dz étant égal kqz en vertu de Téquation proposée, on pourrait remplacer les dernières équations par

dz dp dq

qz pq — ;?»

L'égalité des deux derniers rapports donne

pdp -\- qdq = Of d'où p* -h q* = a*,

dz=z -i/z*— aV'.c^-4- —dr, z z

En faisant dx = o, il vient

zdz= a V dx, d'où z* = a'^' -f- X.

Substituant cette valeur dans Téquation zd^z = a Jz^ — a^y^.dx, il vient

^rfX = av'X.éfj', d'où v^ = ax-4-p,

et, par suite, la solution complète de l'équation proposée est IV. Prenons encore l'équation

Les équations (5) seront ici

^ <r dz dp dq

7'-Hi 2/>7H-Ô2"~3/?î*+/?H- [b — z)q~'pq~'~f^

De réquation

dx dq

on tire

ce qui donne

d'où

(s — b) dx

dzz= ^ ' -f-

j: -h a ai/ I 1 -f-i

«,,.,. - . 0? -h a ^ //jr-f-a\* i

Multipliant cette équation par '" V ( 1 -h i = -

il vient

le premier membre étant une différentielle exacte, on en tire, eu intégrant, la solution complète de l'équation proposée

On peut trouver une autre forme de la solution complète en partant de l'équation — = -1^ qui donne

q^otp,

2li LIVRE V. — CHAP. II, § VII.

d'où

dzz=: r-f -^f/jr\ y'a(s— A) — I,

équation où les variables sont séparables et qui donne, par Tintégration,

IX y'a ( 3 — ù] — I = j: -f- «j^ -f- |3.