VII

des équations linéaires aux dérivées partielles

. d'ordre quelconque.

1082. Considérons une équation linéaire par rapport aux dérivées partielles de la fonction inconnue z, de la forme

P, Q, ... étant des fonctions des seules variables indépendantes Xjjf que nous supposerons, pour plus de simplicité, au nombre de deux. Une telle équation jouit de propriétés analogues à celles d'une équation linéaire à une seule variable indépendante sans second membre [877]. Ainsi :

1** Si une certaine valeur z = Zi satisfait à cette équation, la même valeur multipliée par une constante quelconque satisfera encore à la même équation ;

9.^ Si Ton connaît des solutions, en nombre quelconque, z^ Zon . . • de l'équation (i), leur somme ^< -i- ^2 +• • • sera encore une solution de cette équation;

3** Par conséquent, en faisant la somme de ces. mêmes solutions, multipliées respectivement par des constantes quelconques, l'expression obtenue CtZi -h 02^2 + » • • sera encore une solution.

Si donc on peut découvrir une infinité de solutions de l'équation (i), en faisant la somme de leurs produits par des constantes arbitraires, la limite de cette somme sera une solution plus générale, qui se présentera sous la forme soit de la somme d'une série infinie, soit d'une intégrale définie.

ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE SUPÉRIEUR. 225

1083. Considérons le cas le plus simple, celui d'une équation linéaire à coefBcients P, Q, . . . constants. Nous avons vu [889] que, dans le cas analogue relatif à une seule variable indépendante, une équation linéaire à coefficients constants est vérifiée par une valeur de la forme eT^^ r étant une constante convenablement déterminée. Les choses se passent d'une manière analogue dans les équations à plusieurs variables indépendantes.

Dans le cas d'une équation linéaire aux différentielles ordinaires d'ordre m, r est une racine d'une équation algébrique de degré m, et , en ajoutant les solutions e''»^, e^«^, . . . , correspondantes aux 172 racines (inégales) de cette équation, ces solutions étant multipliées chacune par une constante arbitraire, on aura l'intégrale générale de l'équation différentielle [891].

Nous suivrons ici une marche analogue^ et nous poserons, dans le cas de deux variables indépendantes,

r et S étant deux constantes indéterminées. En substituant cette valeur dans l'équation (i ), Texponentielle disparaîtra comme facteur commun y et il restera une équation algébrique entre r et s,

(a) Pr^4-. . .-f-Qr»5''-f-. . . = o,

d'un certain degré v par rapport à 5, et d'où l'on tirera, pour s^ V valeurs en fonction de r, de la forme

[3) *i=/i(r), f,=/,(r), .... s,=if,[r].

Chacune de ces valeurs donnera lieu à une intégrale particulière, telle que

(4) 2 = Ce'-'+/('-)y,

C étant une constante arbitraire et /* une quantité entièrement indéterminée.

Pour une même déterminationy(r) de s, on peut prendre arbitrairement C et r, et, en faisant la somme des valeurs de z correspondantes à divers systèmes de valeurs de ces quantités, on aura une solution de Téquation proposée. Pour arriver à la solution la plus générale, il y a deux moyens principaux de généralisation.

226 LIVRE T. — CBÀP. II, § ^I>-

1084. I. On donne à r une suite de valeurs, en nombre infini, en assujettissant r à certaines conditions dépendant de la nature particulière du problème qui a donné naissance à Féquation proposée. Par exemple, on prendra pour r des valeurs en progression arithmétique, ou, ce qui revient au même, des valeurs égales aux diverses racines d'une équation transcendante, telle que

sîn (à j\ =0,

ou, plus généralement, on prendra pour r les diverses racines d'une équation transcendante plus compliquée, telle que l'équation

laDg/ir= kr.

On obtient ainsi pour z une valeur, développée en série infinie, dont les coefficients C seront encore arbitraires, les propriétés de celte série dépendant de l'équation dont les valeurs de r sont les racines De plus, en disposant convenablement des coefficients C, on pourrra faire en sorte que, pour x=^Xq, par exemple, z devienne égale à une fonction dey donnée arbitrairement.

Chacune des valeurs (3) de 5 en fonction de r donne lieu à un développement analogue, de sorte que la valeur de z, formée par la somme de ces v développements, renfermera v fonctions arbitraires.

1085. Prenons pour exemple l'équation

dz .d*z

que l'on rencontre dans la théorie de la chaleur, et supposons que la fonction z soit assujettie à certaines conditions aux limites,

savoir, que l'on ait:

(i®) pourj:=:o, z = o;

(2») pourx = ^, ^./|=:o; (3**) pour/=:o, z-=i¥[x).