ÉQUATIONS LINÉAIRES D*ORDRE SUPÉRIEUR

Si nous posons ( * = ^ — i )

il viendra, en substituant dans l'équation proposée,

et par suite

OU, en ajoutant deux déterminations convenables de cette solution,

z = e~^*''*^[A.siarx H- Bcosrx}.

La condition (i^) fait voir que la constante B doit être nulle, ce qui réduit la valeur de z à

z=:€r^*''*^Xsinra:.

En mettant cette valeur dans la condition (2^),

elle donnera

br-h yi — 7 ) sin ôr = o,

br tang^r

Cette relation fera connaître les valeurs de br qui conviennent à l'équation, valeurs qui sont données par les intersections de la

droite j^= tt avec la courbe j^ = tangx. Soient r<, r2, ... les

valeurs de r, en nombre infini, que l'on obtient par la résolution de cette équation transcendante. En ajoutant les valeurs correspondantes de z, multipliées par des constantes arbitraires, on aura la valeur plus générale de z :

z = Ae~"*''î^8inrj j: -h A,e-**'*î^sînr,a? -h . . ..

On voit, par une discussion facile, que les racines r^ , r2, • • ., r„y ... finissent, pour des indices n suffisamment grands, par

rcos

ou enfin

= 1 — bh.

croître par intervalles sensiblement égaux à ~» de sorte que chaque

terme contient, de plus que le précédent, un facteur à peu près égal à

lequel tend vers zéro pour r croissant. Donc, pour y positif, le développement est convergent, toutes les fois que les coeflicients A«, A2, ... ne croissent pas indéfiniment.

Pour satisfaire maintenant à la troisième condition aux limites, il faut déterminer les coeflicients A4, A2, ... de manière que Ton ait, quel que soitx,

F(j:) = A| sinr,j?H- a, sinr,j:

Pour obtenir la valeur d*un quelconque des coeflicients A, du premier par exemple, multiplions l'égalité précédente par sinrixdx, et intégrons les deux membres entre les limites zéro et b ; il viendra, pour un terme quelconque correspondant à deux indices inégaux,

J'sinrixsinr^xdxzrz -J'[cos[r^ — ri]x — cos(r, 4- ri)a:'\dx

I sin(r, — r, )j: i sin(r, -f- r,)a:

2 r, — rj 2 r, -f-rj

— ^ ^t ' . l^t[siD(^î-^i)'^-siD(r,-f-rt)xJ 2 » j /j

-+• ri[sin(rj — r, )j:-hsin(r, -H''i)j^]j -hC = — r ( — r, sinr^or cosr^j: -h risinr^j^cosri jt) -4- C,

et par suite, en prenant pour limites zéro et &,

* . . — r, sin&ri cos^r, -f- r| sînbr^ cos^r,

sin ri X sin r^xdxz=i

Or de l'équation

tang^rj tang^r,

à laquelle doivent satisfaire les racines r^ et r^^ on tire

ÉQUATIONS LINÉAIRES D'ORDRE SUPERIEUR. 2ig

d'où il s'ensuit que l'inlégrale précédente est nulle, quelle que soit la racine r2f différente de r^.

On a, d'autre part,

I siïir riXiix = - j (i — cos^rix]ax= -z •

On en conclut

. sin 2 6ri 2r,

j F[x)smrixdx,

On déterminera de la même façon les autres coefïicients A2, Asf .... De cette manière , on aura le développement en série convergente d'une fonction satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles et à toutes les conditions initiales.

1086. On peut, dans certains cas, obtenir par cette méthode la solution générale de l'équation (i) sous forme finie. Supposons que la fonction y*(r) soit linéaire par rapport à r, de sorte qu'on ait

s=zar-^ b,

ce qui a lieu en particulier lorsque l'équation entre r et 5 est homogène, et qu'on en tire par conséquent des valeurs constantes pour

le rapport - • Il vient alors

Le facteur e^y restant le même, quels que soient G et r, on aura, en faisant la somme d'un nombre quelconque de solutions particulières,

3 = <?*r (Cl e'-.C^-Hir) + c^e''* C-^y) 4- . . . ) •

Si Ton fait pour un instant &^^y = u, on verra que la série entre parenthèses, qui est de la forme G| u^^- C2U''>+* • • , a des coefficients et des exposants arbitraires, et peut représenter, par conséquent, une fonction arbitraire de u ou de a: + ajr. Donc cette solution peut se représenter par

a3o LIVRE V. ^ GHAP. II, § VU.

9 désignant une fonction arbitraire. On aura autant de solutions de cette forme, différentes entre elles, que Ton pourra trouver, ponr 5, de valeurs différentes de la forme ar + b. En ajoutant toutes ces solutions, on obtiendra une solution plus générale.

1087. Soit donnée, par exemple, l'équation du second ordre à coefBcients constants

Rr4-aSj-+-Tr = o, ou R ^-^ -h 2 S ^-^- 4- T -r-; = o.

ox^ Oxôy oy

Si l'on pose

il viendra

R-4-2S/î-hTa* = o,

d'où l'on tire pour a deux valeurs rii, a^. On en déduit l'intégrale générale

z = y (.r 4- a^y] 4- xl-^ ^- «iJ )»

f et X désignant deux fonctions arbitraires.

Si l'on considère, en particulier, l'équation des cordes vibrantes

les racines ai , a, seront ici 4- a et — a, et l'intégrale générale sera

z = y (j: 4- fl^) 4- X (•'^ — ^y]j

comme nous Tavons déjà trouvé [1064, 1065]. On voit que cette intégrale est générale, parce qu'elle permet, pour^ =J'o> de

choisir arbitrairement les valeurs de z et de ^~ en fonction de x.

ày

Plus généralement, étant donnée l'équation à coefliclents constants

qui ne contient que des dérivées de même ordre, si l'on désigne par Al, aa, . , . ^a,i les racines de l'équation algébrique

A 4- Aja 4- . . . 4- A^a" = o,

ÉQUATIONS LINEAIRES D'oRORB SUPERIEUR. a3l

l'intégrale générale de Téquation aux dérivées partielles sera

9i9 ?S) •••)?» désignant des fonctions arbitraires.

1088. H. On peut encore, pour généraliser les solutions , employer le procédé suivant. Ayant formé une solution particulière

OÙ G et r sont entièrement indéterminés, représentons la constante arbitraire C par une fonction arbitraire de r, et supposons cette fonction infiniment petite et de la forme cp(7')^r, en sorte que la solution particulière deviendra

Faisons croître maintenant r par intervalles infiniment petits, égaux à dr, en lui donnant successivement les valeurs

ce qui donne autant de solutions différentes. En ajoutant toutes ces solutions et prenant la limite de leur somme, on aura une solution sous la forme d'une intégrale définie.

crJcW{r)y^

renfermant une fonction arbitraire 7(/')- L'intégration, que l'on pourra effectuer quand la fonction (^ (/) sera donnée, déterminera pour z une valeur en fonction de x et de j^. On fera la même chose pour chacune des y déterminations (3) de la fonction y*(/'). En ajoutant les solutions ainsi obtenues, on aura une solution plus générale, renfermant v fonctions arbitraires.

i089. Si, au lieu d*une équation sans second membre, comme l'équation (i), on donne une équation dont le second membre soit fonction des variables indépendantes, il suffira, pour avoir l'intégrale générale de cette dernière équation, d'ajouter une intégrale particulière quelconque de cette même équation à l'intégrale générale de l'équation sans second membre [901 ].

a32 LIVRE V. — CHAP. II, $ Vil.

Lorsque le second membre est une fonction d'une seule des variables indépendantes, la recherche de la solution particulière se ramènera à l'intégration d'une équation aux différentielles ordinaires, dans le cas où Téquation renferme un ou plusieurs termes où les dérivées soient prises par rapport à la seule variable du second membre et multipliées par des coefficients fonctions de cette seule variable ; car il est clair que l'équation proposée sera vérifiée par une fonction de cette seule variable satisfaisant à l'équation différentielle en question.

Soit, par exemple, l'équation

dx* dxày dy^

où ^ est fonction de la seule variable x. L'équation sera vérifiée

par une fonction z^ de x seulement, déterminée par l'équation

différentielle

d'où l'on tire

En particulier, si - est constant, on aura

Var»

En ajoutant cette solution à la solution générale de l'équation sans second membre

on aura la solution générale de l'équation proposée.